D. Walk on Matrix（超详细讲了原理）

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D. Walk on Matrix

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标签

• 构造

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简明题意

• 假设有一个数字矩阵，每次可以向下或向右，问从左上角走到右下角的数字和最多是多少，那么显然这是一个dp。
• 现在不问你数字和，而是把路径上的所有数都&起来，如果还是dp显然是错的。假设dp的到的结果是x，正确答案是y。
• 现在给定k，需要你构造一个矩阵，使得|y-x|=k

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思路

• 首先我们思考什么时候dp是错的。假设矩阵中有一个点(x,y)是10101.此时最多两种选择,从(x-1,y)或(x,y-1)转移过来。再假设(x-1,y)是10000，(x,y-1)是101,如下表

        ?    10000
       101   10101

• 那么dp时选择(x-1,y)位置的10000，得到10000，选择(x,y-1)位置的101，得到的是101，根据dp，(x,y)点会选择10000而不是101.
• 现在假设矩阵是这样的(也就是多了一项)

        ?    10000    ?
       101   10101   100

• 10101的结果是10000，那么100选择左边时得到的是0。如果10101选择了101得到101，那么最后得到的结果就是100.由此可见，dp会优先选择使更高的位为1的数。
• 我们可以抓住dp的这个弱点，使得dp结果是0，而正确结果是k。现在思考如何构造。
• 上面的例子中，如果把第一行第三个数填0

       ?    10000    0
      101   10101   100

• 那么不考虑左上角的? dp的结果就是0。现在考虑如何填写？使得dp的结果仍然是0.我们只需要使得10000和101异或上？值不变即可。显然？可以填成111111，使得10000和101都不变。

      10101   10000    0
       101    10101   100

• 这样的矩阵，dp的答案是0.现在我们想想如何使正确答案为k。显然这里从左上到右下一共有3条路径，分别为

____
     |        这一条结果为0
      ____
  
|             
|_______        这一条结果非0

________
        |       这一条结果为0
        |

• 由上可知我们只能操作第二条路径使得第二条路径的结果为k。
• 利用刚才的思路，我们可以让k加上10···0（很大），使得某一步会错误地选择10···0从而异或出很大的10···0。下面这个三角就是，10···0+k选择上面的会形成10···0，而选择左边的k会形成k。

       ?      10···0
       k      10···0+k 

• 那么我们可以再仿照最开始举例思路，继续填

      ?      10···0     0
      k      10···0+k   k

• 这样，使得两种路径的&都是0，我们现在只需要确定左上角的？给根据上面的举例，？填成1111···111即可。
• 当然也可以填10···0+k，只要使得？下面和右边的数不变就可以了。
• 至于10···0具体是多少，题目说了k<=1e5，那么 2 17 > 1