数据结构——树与二叉树学习笔记（一）

---

数据结构——树与二叉树，记录了与树相关的重要知识点，可作为查阅使用。

---

1. 树的基本概念

1.1 树的概念术语

结点、根、分支、子树、森林、前后驱、祖先、子孙、双亲、孩子、兄弟、结点的度、树的度、分支结点、叶子结点、层次、堂兄弟、深度、高度、树的高度（深度）、有（无）序树、路径、路径长度，m叉树。

1.2 树的基本性质

1）树中的结点数 = 所有结点的度数 + 1

2）度为m的树中第i层上至多有$m^{i-1}$个结点（$i\ge 1$）

3）高度为h的m叉树至多有$(m^h-1)/(m-1)$个结点

当每个结点的度都为m的时候，利用等比数列$m^{h-1}+m^{h-2}+\cdots +m+1$求得的结果

4）具有n个结点的m叉树的最小高度为$[lo{g}_m(n(m-1)+1)]$

5）高度为h的m叉树至少有h个结点

6）高度为h，度为m的树至少有$h+m-1$个结点

7）具有n个结点的m叉树的最小高度为$[lo{g}_m(n(m-1))]$

​ 假设高度为h。若具有n个结点的m叉树高度最小，则每个结点的度都为m，由（3）可得，此时有$(m^{h-1})/(m-1))<n\le (m^h-1)/(m-1)$成立。对不等式进行变换后可得$h-1<lo{g}_m(n(m-1))\le h$，对h向上取整即可得$\lceil lo{g}_m(n(m-1))\rceil$

2. 二叉树的概念

2.1 几个特殊的二叉树

（1）满二叉树

即除叶子结点外其余结点的度均为2的二叉树。对满二叉树进行自上而下、自左向右进行编号，对编号为i的结点：

• 若有双亲，则其双亲为$\lfloor i/2\rfloor$
• 若有左孩子，则左孩子为$2i$，若有右孩子，则为$2i+1$

（2）完全二叉树

高度为h，结点为n且结点编号与高度为h的满二叉树一一对应的二叉树。按照满二叉树的方法对结点进行编号，对编号为i的结点：

• 当$i\le \lfloor n/2\rfloor$，则该结点为分支结点，否则为叶子结点。

因为完全二叉树与满二叉树的结点编号一一对应，则完全二叉树也具有满二叉树的编号规律。对于$i=n$的结点，其双亲为最后一个有孩子的结点，即$\lfloor n/2\rfloor$，所有当$i>\lfloor n/2\rfloor$时的结点全为叶子结点。

• 若$2i\le n$，则说明有左孩子；若$2i+1\le n$，则说明有右孩子

由满二叉树的性质可知，若结点的左右孩子存在，则左孩子等于$2$