偏导，方向导数以及梯度的理解

最初的疑惑

在梯度的Wiki 上对梯度在三维空间，直角坐标系下的梯度表示为
$$\nabla =\frac{\partial f(x,y,z)}{\partial x}\ast \vec{i}+\frac{\partial f(x,y,z)}{\partial y}\ast \vec{j}+\frac{\partial f(x,y,z)}{\partial z}\ast \vec{k}$$
为什么梯度是由函数$f(x,y,z)$在每个方向上的偏导乘以向量然后相加呢？

希望回答的问题

• 梯度是什么？
• 梯度是怎么来的？
• 梯度怎么表示？
• 梯度为什么这么表示？
• 为什么梯度的反方向是函数值下降最快的方向？

梯度是什么？

梯度是个向量，在某个点的梯度定义有两部分组成：1）梯度的方向：在当前点函数值增长最快的方向 2）梯度的值：函数在当前点最大的增长率$|\nabla f|$。

从这个描述当中我们可以把最初的疑惑，分解为两个问题

• 为什么上面的向量表示的方向是函数值增长最快的方向
• 为什么这个向量表示的长度为最大的增长率

梯度是怎么来的？

为了回答以上的问题，我们需要知道梯度是怎么来的，这是我们需要引入方向导数。

方向导数的定义：假设$f$为$R^n$上的函数，且包含某个区间$D$，$P_0$为$D$上的一个点，$\vec{l}$为一个非零向量，如果极限
$$\underset{t\to 0}{\lim }\frac{f(P_{0x1}+l_{x1}t,P_{0x2}+l_{x2}t,...)-f(}{t}$$