概率论之多元随机变量及其分布

1.多元随机变量

在实际问题中，有一些实验的结果需要同时用两个或两个以上的随机变量来描述。
设n元随机变量$X(\omega )=(X_1(\omega ),X_2(\omega ),...,X_n(\omega ))，简记为X=(X_1,X_2,...,X_n)$
定义：
随机变量$X=(X_1,X_2,...,X_n)$的（联合）分布函数为$$F(x_1,x_2,...,x_n)=P(X_1\le x_1,X_2\le x_2,...,X_n\le x_n)$$
以二元随机变量为例，其性质如下：
1.$0\le F(x,y)\le 1$
2.$F(x,y)$是变量$x,y$的不减函数，
3.$F(-\infty ,-\infty )=F(-\infty ,y)=F(x,-\infty )=0,但F(+\infty ,+\infty )=1$

2.二元离散型随机变量的分布

3.二元连续性随机变量的分布

设$(X,Y)$是二元随机变量，其分布函数为$F(x,y)$，若存在一个非负函数$f(x,y)$，使得对于任意实数$x,y$都有：
$$F(x,y)=P(X\le x,Y\le y={\int }_{\infty }^x{\int }_{-\infty }^{y}f(u,v)dudv$$，则称$(X,Y)$是二元连续型随机变量，函数$f(x,y)$称为二元连续型随机变量$(X,Y)$的联合概率密度，或简称为$(X,Y)$的密度，二元密度$f(x,y)$具有以下性质：
1.$f(x,y)\ge 0$
2.${\int }_{\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dxdy=1$
3.$\frac{{\partial }^{2}F(x,y)}{\partial x\partial y}=\frac{{\partial }^{2}F(x,y)}{\partial y\partial x}=f(x,y)$
设$f(x,y)是(X,Y)$的联合密度函数，则称
$$f_X(x)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dy,f_Y(y)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dx$$
分别是$(X,Y)关于X,Y$的边缘密度函数。