概率论之大数定律和中心极限定理

1.大数定律

教材说这是概率论最精彩的一章。。。，我觉得说的不错。。。，感觉需要吃透这几个定理。

1.1切比雪夫不等式

设随机变量$X$的均值$EX$及方差$DX$存在，则对于任意正数$\epsilon$，有不等式
P { ∣ X − E X ∣ ≥ ε } ≤ D X ε 2 P\{|X-EX|\ge\varepsilon\}\le\frac{DX}{\varepsilon^2} P{ ∣X−EX∣≥ε}≤ε2DX​或
P { ∣ X − E X ∣ &lt; ε } ≥ 1 − D X ε 2 P\{|X-EX|&lt;\varepsilon\}\ge1-\frac{DX}{\varepsilon^2} P{ ∣X−EX∣<ε}≥1−ε2DX​
成立，我们称该不等式为切比雪夫不等式。
从定理中看出$DX$越小，那么随机变量$X$取值于开区间$(EX-\epsilon ,EX+\epsilon )$的概率就越大，这就说明方差是一个反映随机变量的概率分布对其分布中心$EX$的集中程度的数量指标。

1.2切比雪夫大数定理

设相互独立的随机变量$X_1,X_2,...,X_n,...$分别具有均值$E{X}_1,E{X}_2,...,E{X}_n,...$及有界方差$D{X}_1,D{X}_2,...,D{X}_n,...$,即存在常数C，使$D{X}_k\le C$，则对于任意正整数$\epsilon$有
lim ⁡ n → ∞ P { ∣ 1 n ∑ k = 1 n X k − 1 n ∑ k = 1 n E X k ∣ &lt; ε } = 1 \lim_{n\to\infty}P\{|\frac1n\sum_{k=1}^nX_k-\frac1n\sum_{k=1}^nEX_k|&lt;\varepsilon\}=1 n→∞lim​P{ ∣n1​k=1∑n​Xk​−n1​k=1∑n​EXk​∣<ε}=1

1.3伯努利大数定律

设${\mu }_n$记$n$次试验中事件$A$出现的频