快速因式分解

摘要

解二次方程时，例如 x²+2x-3 ，往往需要对其进行因式分解。高中阶段之后，最常用的方法是十字相乘。对于 x²+bx+c 形式的二次函数，可通过一个公式直接得到因式分解结果。

核心内容

对于
$$x^2+bx+c=0$$
当符合以下条件时：
$$c=k(b-k),k=1,2,\mathrm{3....}$$
可以进行十字相乘。

且实数根均为整数 -k 或 k-b

我们只需要试 k=1,2,3…的情况就可以了。

通常题目中给出的b和c都不会超过10，首先看b是否比c大1，这就代表了k=1的情况。若不是，则通过上述公式计算出k的值，若k是整数，则可直接得到结果。

附b和c在-10到10之内组成的所有可能。

竖b横c	-10	-9	-8	-7	-6	-5	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
-10
-9	(10, -1)
-8		(9, -1)
-7			(8, -1)
-6				(7, -1)
-5					(6, -1)
-4						(5, -1)
-3	(5, -2)						(4, -1)
-2			(4, -2)					(3, -1)
-1					(3, -2)				(2, -1)
0		(3, -3)					(2, -2)			(1, -1)
1					(2, -3)				(1, -2)
2			(2, -4)					(1, -3)				(-1, 1)
3	(2, -5)						(1, -4)						(-1, -2)
4						(1, -5)								(-1, -3)	(-2, 2)
5					(1, -6)										(-1, -4)		(-2, -3)
6				(1, -7)												(-1, -5)			(-2, -4)	(-3, 3)
7			(1, -8)														(-1, -6)
8		(1, -9)																(-1, -7)
9	(1, -10)																		(-1, -8)

附代码

# -*- encoding: utf-8 -*-
"""
PyCharm main
2022年08月18日
by littlefean
"""

import itertools
from typing import *


class QuadraticFunc:
    def __init__(self, a, b, c):
        """
        ax**2 + bx + c
        """
        self.a = a
        self.b = b
        self.c = c
        ...

    def __str__(self):
        res = ""
        if self.a != 0:
            res += f"{coefficient(self.a)}x²"
        if self.b != 0:
            res += f"+{self.b}x" if self.b > 0 else f"-{-self.b}x"
        if self.c != 0:
            res += f"+{self.c}" if self.c > 0 else f"-{-self.c}"
        return res

    def haveSolution(self):
        """判断二次函数是否有实根"""
        return self.b ** 2 - 4 * self.a * self.c >= 0

    def normalSolution(self):
        res1 = (-self.b + (self.b ** 2 - 4 * self.a * self.c) ** 0.5) / (self.a * 2)
        res2 = (-self.b - (self.b ** 2 - 4 * self.a * self.c) ** 0.5) / (self.a * 2)
        return res1, res2

    def simple(self):
        """将这个二次方程因式分解"""
        if not self.haveSolution():
            return "不可分解"
        aList = pair(self.a)
        cList = pair(self.c)
        for a1, a2 in aList:
            for c1, c2 in cList:
                if a1 * c2 + a2 * c1 == self.b:
                    return f"({coefficient(a1)}x {numStr(c1)})({coefficient(a2)}x {numStr(c2)})"
        return "不可分解"

    def getSolution(self):
        """
        将这个二次方程因式分解，返回因式分解后解的结果
        如果不能因式分解，返回None
        """
        if not self.haveSolution():
            return None
        aList = pair(self.a)
        cList = pair(self.c)
        for a1, a2 in aList:
            for c1, c2 in cList:
                if a1 * c2 + a2 * c1 == self.b:
                    return -c1, -c2 if c1 != c2 else c1
        return None


def coefficient(self) -> str:
    if self == 1:
        return ""
    if self == -1:
        return "-"
    return str(self)


def numStr(n: int) -> str:
    return f"+{n}" if n >= 0 else str(n)


def pair(n: int) -> list:
    """
    把一个整数拆成所有 a*b 的整数对，并以列表形式返回
    """
    if n >= 0:
        return [(i, n // i) for i in range(1, n + 1) if n % i == 0]
    n = abs(n)
    return [(-i, n // i) for i in range(1, n + 1) if n % i == 0] + [(i, - n // i) for i in range(1, n + 1) if
                                                                    n % i == 0]


def main():
    # 从 -10 开始一直往后
    size = 30
    table = [[""] * size for _ in range(size)]

    for b, c in itertools.product(range(-10, size - 10), range(-10, size - 10)):
        f1 = QuadraticFunc(1, b, c)
        if not f1.haveSolution():
            continue
        if f1.getSolution() is None:
            table[b + 10][c + 10] = ""
        else:
            print(f1, "==", f1.getSolution())
            table[b + 10][c + 10] = f1.getSolution().__str__()
        # QuadraticFunc(-1, b, c)
    for line in table:
        print("\t".join(line))
    return None


if __name__ == "__main__":
    main()