2025-7-15-C++ 学习排序（3）

汤姆和佩琦

已于 2025-07-15 22:27:50 修改

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分类专栏： C/C++语言学习历程文章标签： c++ 学习算法

于 2025-07-15 22:09:06 首次发布

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2025-7-15-C++ 学习排序（3）

排序，go go。

P1116 车厢重组

题目描述

在一个旧式的火车站旁边有一座桥，其桥面可以绕河中心的桥墩水平旋转。一个车站的职工发现桥的长度最多能容纳两节车厢，如果将桥旋转 $180$ 度，则可以把相邻两节车厢的位置交换，用这种方法可以重新排列车厢的顺序。于是他就负责用这座桥将进站的车厢按车厢号从小到大排列。他退休后，火车站决定将这一工作自动化，其中一项重要的工作是编一个程序，输入初始的车厢顺序，计算最少用多少步就能将车厢排序。

输入格式

共两行。

第一行是车厢总数 $\le 10000)$ 。

第二行是 $N$ 个不同的数表示初始的车厢顺序。
（注：实际上数据中并不都在同一行，有可能分行输入）

输出格式

一个整数，最少的旋转次数。

输入输出样例 #1

输入 #1

4
4 3 2 1

输出 #1

提交代码

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

// 归并排序同时计算逆序数
long long mergeSort(vector<int>& arr, int left, int right) {
    if (left >= right) return 0;
    
    int mid = left + (right - left) / 2;
    long long inv_count = mergeSort(arr, left, mid) + mergeSort(arr, mid + 1, right);
    
    vector<int> temp(right - left + 1);
    int i = left, j = mid + 1, k = 0;
    
    while (i <= mid && j <= right) {
        if (arr[i] <= arr[j]) {
            temp[k++] = arr[i++];
        } else {
            temp[k++] = arr[j++];
            inv_count += mid - i + 1; // 关键：统计逆序数
        }
    }
    
    while (i <= mid) temp[k++] = arr[i++];
    while (j <= right) temp[k++] = arr[j++];
    
    for (i = left, k = 0; i <= right; i++, k++) {
        arr[i] = temp[k];
    }
    
    return inv_count;
}

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    
    vector<int> arr(n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> arr[i];
    }
    
    long long inversions = mergeSort(arr, 0, n - 1);
    cout << inversions << endl;
    
    return 0;
}

思路讲解

问题理解

每次旋转桥只能交换相邻的两节车厢（旋转 180 度）
目标是将车厢按编号从小到大排序
例如：输入 4 3 2 1，需要交换 6 次才能变成 1 2 3 4

为什么是逆序对？

逆序对的定义：对于序列中两个元素，如果前面的元素比后面的大，就是一个逆序对
每一次旋转操作只能消除一个逆序对（交换相邻的两个逆序元素）
因此，最少旋转次数 = 序列中逆序对的总数

以样例 4 3 2 1 为例：

逆序对有：(4,3)、(4,2)、(4,1)、(3,2)、(3,1)、(2,1)
共 6 个逆序对，所以需要旋转 6 次

算法选择

暴力解法：双重循环统计逆序对

int count = 0;
for (int i = 0; i < n; i++) {
    for (int j = i+1; j < n; j++) {
        if (arr[i] > arr[j]) count++;
    }
}

时间复杂度：O (n²)，适合 n≤1000 的情况

归并排序法：在排序过程中统计逆序对
- 时间复杂度：O (n log n)，适合 n≤10000 的情况（本题约束）
- 核心思想：在合并两个有序子序列时，当右侧元素小于左侧元素时，左侧剩余元素都与该右侧元素构成逆序对

归并排序统计逆序对的关键步骤

// 合并两个有序子数组时统计逆序对
while (i <= mid && j <= right) {
    if (arr[i] <= arr[j]) {
        temp[k++] = arr[i++];  // 无逆序对
    } else {
        temp[k++] = arr[j++];  // 有逆序对
        inv_count += mid - i + 1;  // 左侧剩余元素都与当前元素构成逆序对
    }
}

总结

这道题本质是求逆序对数量，通过归并排序可以高效求解。理解 “旋转次数 = 逆序对数量” 这一等价关系，是解决问题的关键。

P1152 欢乐的跳

题目描述

一个 $n$ 个元素的整数数组，如果数组两个连续元素之间差的绝对值包括了 $[1, n - 1]$ 之间的所有整数，则称之符合“欢乐的跳”，如数组 ${1,4,2,3\}$ 符合“欢乐的跳”，因为差的绝对值分别为： $3, 2, 1$ 。

给定一个数组，你的任务是判断该数组是否符合“欢乐的跳”。

输入格式

每组测试数据第一行以一个整数 $\le n \le 1000)$ 开始，接下来 $n$ 个空格隔开的在 $10^8,10^8]$ 之间的整数。

输出格式

对于每组测试数据，输出一行若该数组符合“欢乐的跳”则输出 Jolly，否则输出 Not jolly。

输入输出样例 #1

输入 #1

4 1 4 2 3

输出 #1

Jolly

输入输出样例 #2

输入 #2

5 1 4 2 -1 6

输出 #2

Not jolly

说明/提示

$\le n \le 1000$

提交代码

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    vector<int> arr(n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> arr[i];
    }

    vector<int> diffs;
    for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
        diffs.push_back(abs(arr[i] - arr[i + 1]));
    }

    sort(diffs.begin(), diffs.end());

    bool isJolly = true;
    for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
        if (diffs[i] != i + 1) {
            isJolly = false;
            break;
        }
    }

    cout << (isJolly ? "Jolly" : "Not jolly") << endl;

    return 0;
}

P1068 [NOIP 2009 普及组] 分数线划定

题目描述

世博会志愿者的选拔工作正在 A 市如火如荼的进行。为了选拔最合适的人才，A 市对所有报名的选手进行了笔试，笔试分数达到面试分数线的选手方可进入面试。面试分数线根据计划录取人数的 $150\%$ 划定，即如果计划录取 $m$ 名志愿者，则面试分数线为排名第 $\times 150\%$ （向下取整）名的选手的分数，而最终进入面试的选手为笔试成绩不低于面试分数线的所有选手。

现在就请你编写程序划定面试分数线，并输出所有进入面试的选手的报名号和笔试成绩。

输入格式

第一行，两个整数 $\leq n \leq 5000,3 \leq m \leq n)$ ，中间用一个空格隔开，其中 $n$ 表示报名参加笔试的选手总数， $m$ 表示计划录取的志愿者人数。输入数据保证 $\times 150\%$ 向下取整后小于等于 $n$ 。

第二行到第 $n + 1$ 行，每行包括两个整数，中间用一个空格隔开，分别是选手的报名号 $\leq k \leq 9999)$ 和该选手的笔试成绩 $\leq s \leq 100)$ 。数据保证选手的报名号各不相同。

输出格式

第一行，有 $2$ 个整数，用一个空格隔开，第一个整数表示面试分数线；第二个整数为进入面试的选手的实际人数。

从第二行开始，每行包含 $2$ 个整数，中间用一个空格隔开，分别表示进入面试的选手的报名号和笔试成绩，按照笔试成绩从高到低输出，如果成绩相同，则按报名号由小到大的顺序输出。

输入输出样例 #1

输入 #1

输出 #1

说明/提示

【样例说明】

$\times 150\% = 3 \times150\% = 4.5$ ，向下取整后为 $4$ 。保证 $4$ 个人进入面试的分数线为 $88$ ，但因为 $88$ 有重分，所以所有成绩大于等于 $88$ 的选手都可以进入面试，故最终有 $5$ 个人进入面试。

NOIP 2009 普及组第二题

提交代码

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;

struct Cand {
  int id;
  int score;
};

bool comp(const Cand& a,const Cand& b)
{
    if(a.score != b.score)
    {
        return a.score > b.score;
    }
    return a.id < b.id;
}

int main() {
    int n, m;
    cin >> n >> m;

    vector<Cand> candidates(n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> candidates[i].id >> candidates[i].score;
    }

    sort(candidates.begin(), candidates.end(), comp);

    int lineIndex = m * 1.5 - 1;
    int threshold = candidates[lineIndex].score;

    int count = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        if (candidates[i].score >= threshold) {
            count++;
        } else {
            break;
        }
    }

    cout << threshold << " " << count << endl;
    for (int i = 0; i < count; i++) {
        cout << candidates[i].id << " " << candidates[i].score << endl;
    }

    return 0;
}