本文介绍了图的基本概念，包括无向图、有向图和带权图，并探讨了图的表示方式，如邻接矩阵和邻接表。接着详细阐述了图的创建及深度优先遍历（DFS）和广度优先遍历（BFS）的原理，包括代码思路和实现。DFS通过递归方式优先深入节点，而BFS则采用队列实现分层遍历。
1.图基本介绍
1.1为什么要有图
线性表局限于一个直接前驱和一个直接后继的关系
树也只能有一个直接前驱也就是父节点
当我们需要表示多对多的关系时， 这里我们就用到了图
1.2图的常用概念
- 顶点(vertex)
- 边(edge)
- 路径
- 无向图(右图)
- 无向图： 顶点之间的连接没有方向，比如A-B，即可以是 A-> B 也可以 B->A
- 路径：比如从 D -> C 的路径有D->B->C 和D->A->B->C
- 有向图：顶点之间的连接有方向，比如A-B，只能是 A-> B 不能是 B->A
- 带权图：这种边带权值的图也叫网
2.图的表示方式
图的表示方式有两种：二维数组表示（邻接矩阵）；链表表示（邻接表）
2.1邻接矩阵
邻接矩阵是表示图形中顶点之间相邻关系的矩阵，对于n个顶点的图而言，矩阵是的row和col表示的是1…n个点
2.2邻接表
邻接矩阵需要为每个顶点都分配n个边的空间，其实有很多边都是不存在，会造成空间的一定损失
邻接表的实现只关心存在的边，不关心不存在的边。因此没有空间浪费，邻接表由数组+链表组成
邻接表说明：
标号为0的结点的相关联的结点为 1 2 3 4
标号为1的结点的相关联结点为 0 4
标号为2的结点相关联的结点为 0 4 5
…
3.图的创建
3.1代码思路
邻接矩阵法：
- 存储顶点：ArrayList
- 存储矩阵：int[][]
- 存储边数：Integer
3.2图的定义
图的定义：
- vertexList ：存储顶点集合
- edges ：邻结矩阵
- numOfEdges ：边的数目（每添加一条边，numOfEdges 加一）
class Graph {
private ArrayList<String> vertexList; //存储顶点集合
private int[][] edges; //存储图对应的邻结矩阵
private int numOfEdges; //表示边的数目
//构造器
public Graph(int n) {
//初始化矩阵和vertexList
edges = new int[n][n];
vertexList = new ArrayList<String>(n);
numOfEdges = 0;
}
//插入结点
public void insertVertex(String vertex) {
vertexList.add(vertex);
}
//添加边
/**
*
* @param v1 第二个顶点对应的下标
* @param v2 第二个顶点对应的下标
* @param weight 表示权值，0：不连接；1：连接
*/
public void insertEdge(int v1, int v2, int weight) {
edges[v1][v2] = weight;
edges[v2][v1] = weight;
numOfEdges++;
}
//图中常用的方法
//返回结点的个数
public int getNumOfVertex() {
return vertexList.size();
}
// 得到边的数目
public int getNumOfEdges() {
return numOfEdges;
}
// 返回结点i(下标)对应的数据 0->"A" 1->"B" 2->"C"
public String getValueByIndex(int i) {
return vertexList.get(i);
}
// 返回v1和v2的权值
public int getWeight(int v1, int v2) {
return edges[v1][v2];
}
// 显示图对应的矩阵
public void showGraph() {
for (int[] link : edges) {
System.out.println(Arrays.toString(link));
}
}
}
代码测试
public static void main(String[] args) {
//测试一把图是否创建ok
String Vertexs[] = {"A", "B", "C", "D", "E"};
int n = Vertexs.length; //结点的个数
// String Vertexs[] = {"1", "2", "3", "4", "5", "6", "7", "8"};
//创建图对象
Graph graph = new Graph(n);
//循环的添加顶点
for(String vertex: Vertexs) {
graph.insertVertex(vertex);
}
//添加边
//A-B A-C B-C B-D B-E
graph.insertEdge(0, 1, 1); // A-B
graph.insertEdge(0, 2, 1); // A-C
graph.insertEdge(1, 2, 1); // B-C
graph.insertEdge(1, 3, 1); // B-D
graph.insertEdge(1, 4, 1); // B-E
//显示一把邻结矩阵
graph.showGraph();
}
程序运行结果
[0, 1, 1, 0, 0]
[1, 0, 1, 1, 1]
[1, 1, 0, 0, 0]
[0, 1, 0, 0, 0]
[0, 1, 0, 0, 0]
4.图的遍历
4.1深度优先和广度优先
图遍历介绍：所谓图的遍历，即是对结点的访问。一个图有那么多个结点，如何遍历这些结点，需要特定策略，一般有两种访问策略:
- 深度优先遍历
- 广度优先遍历
4.2图的深度优先遍历
深度优先遍历基本思想，图的深度优先搜索(Depth First Search)
- 深度优先遍历，从初始访问结点出发，初始访问结点可能有多个邻接结点，深度优先遍历的策略就是首先访问第一个邻接结点，然后再以这个被访问的邻接结点作为初始结点，访问它的第一个邻接结点，可以这样理解：每次都在访问完当前结点后首先访问当前结点的第一个邻接结点。
- 我们可以看到，这样的访问策略是优先往纵向挖掘深入，而不是对一个结点的所有邻接结点进行横向访问。
显然，深度优先搜索是一个递归的过程
4.2.1代码思路
深度优先遍历算法步骤：
- 访问初始结点 v ，并标记结点 v 为已访问。
- 查找结点 v 的第一个邻接结点 w
- 如果 w 存在
- 如果 w 未被访问过，先标记 w 已被访问过，然后把 w 当做下一个 v ，查找 w 的第一个邻接点，继续执行深度遍历（这是个递归的过程）
- 如果 w 已经被访问过，则跳过此节点
- 如果 w 不存在，说明 v 真的没有下一个邻接点了，已经到头了，我们回到节点 v ，将从v的下一个结点继续查找
- 如果 w 存在
- 经过如上步骤，图中可能还有其他顶点未被访问，继续从下一个顶点执行如上操作
如何找到当前顶点的下一个邻接点？
假设当前正在遍历的顶点索引为 i ，顶点 i 的边信息存储在 edges[][]数组中第 i 行
假设顶点 i 的当前遍历到的邻接点索引为 j ，即已经遍历到了 第 edges[i][j]处，需要从 edges[i][j]之后去找顶点 i 的下一个邻接点索引
举例说明：
访问顶点 A 后输出 A ，A 的第一个邻接点是 B ，B 未被访问过，我们访问顶点 B
访问顶点 B 后输出 A–> B
B 的第一个邻接点 A 已经被访问过了
B 的第二个邻接点 C 还未被访问过，我们访问节点 C
访问节点 C
C 的第一个邻接点是 A ，然而 A 已经访问过了
C 的下一个邻接点是 B ，然而 B 也已经访问过了
除此之外，C 再也没有其他邻接点
我们回到顶点 B ，访问节点 B 的下一个邻接点：顶点 D
访问顶点 D 后输出 A --> B --> C --> D ，D 没有邻接节点，所以又返回到顶点 B ，访问顶点 B 的下一个邻接点：顶点 E
访问顶点 E 后输出 A --> B --> C --> D --> E，E 没有邻接节点，所以又返回到顶点 B
B 的所有邻接点都访问过了，返回到顶点 A
以上所有操作仅是一轮，还需要再对图中其他顶点进行以上操作
总结：
- 假设初始状态是图中所有顶点均未被访问，则从某个顶点v出发，首先访问该顶点，然后依次从它的各个未被访问的邻接点出发深度优先搜索遍历图，直至图中所有和v有路径相通的顶点都被访问到。
- 若此时尚有其他顶点未被访问到，则另选一个未被访问的顶点作起始点（额，我实在想不到这种特例），重复上述过程，直至图中所有顶点都被访问到为止。
4.2.2代码实现
编写图的深度优先遍历
class Graph {
private ArrayList<String> vertexList; //存储顶点集合
private int[][] edges; //存储图对应的邻结矩阵
private int numOfEdges; //表示边的数目
private boolean[] isVisited;//记录某个结点是否被访问
//构造器
public Graph(int n) {
//初始化矩阵和vertexList
edges = new int[n][n];
vertexList = new ArrayList<String>(n);
numOfEdges = 0;
}
-----------------------------------------------
//图的常用方法：
//插入结点
public void insertVertex(String vertex) {
vertexList.add(vertex);
}
//添加边
/**
*
* @param v1 第二个顶点对应的下标
* @param v2 第二个顶点对应的下标
* @param weight 表示权值，0：不连接；1：连接
*/
public void insertEdge(int v1, int v2, int weight) {
edges[v1][v2] = weight;
edges[v2][v1] = weight;
numOfEdges++;
}
//图中常用的方法
//返回结点的个数
public int getNumOfVertex() {
return vertexList.size();
}
// 得到边的数目
public int getNumOfEdges() {
return numOfEdges;
}
// 返回结点i(下标)对应的数据 0->"A" 1->"B" 2->"C"
public String getValueByIndex(int i) {
return vertexList.get(i);
}
// 返回v1和v2的权值
public int getWeight(int v1, int v2) {
return edges[v1][v2];
}
// 显示图对应的矩阵
public void showGraph() {
for (int[] link : edges) {
System.out.println(Arrays.toString(link));
}
}
-----------------------------------------------------------
//得到第一个邻接结点的下标 w
/**
*
* @param index
* @return 如果存在就返回对应的下标，否则返回-1
*/
public int getFirstNeighbor(int index) {
for(int j = 0; j < vertexList.size(); j++) {
if(edges[index][j] > 0) {
return j;
}
}
return -1;
}
//根据前一个邻接结点的下标来获取下一个邻接结点 v1行标v2列标
public int getNextNeighbor(int v1, int v2) {
for(int j = v2 + 1; j < vertexList.size(); j++) {
if(edges[v1][j] > 0) {
return j;
}
}
return -1;
}
//深度优先遍历算法
//i 第一次就是 0
private void dfs(boolean[] isVisited, int i) {
//首先我们访问该结点,输出
System.out.print(getValueByIndex(i) + "->");
//将结点设置为已经访问
isVisited[i] = true;
//查找结点i的第一个邻接结点w
int w = getFirstNeighbor(i);
while(w != -1) {//说明有
if(!isVisited[w]) {
dfs(isVisited, w);
}
//如果w结点已经被访问过
w = getNextNeighbor(i, w);
}
}
//对dfs 进行一个重载, 遍历我们所有的结点，并进行 dfs
public void dfs() {
boolean[] isVisited = new boolean[vertexList.size()];
//遍历所有的结点，进行dfs[回溯]
for(int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
if(!isVisited[i]) {
dfs(isVisited, i);
}
}
}
}
测试代码
public static void main(String[] args) {
//测试一把图是否创建ok
int n = 8; //结点的个数
String Vertexs[] = {"A", "B", "C", "D", "E"};
//创建图对象
Graph graph = new Graph(n);
//循环的添加顶点
for(String vertex: Vertexs) {
graph.insertVertex(vertex);
}
//添加边
//A-B A-C B-C B-D B-E
// graph.insertEdge(0, 1, 1); // A-B
// graph.insertEdge(0, 2, 1); //
// graph.insertEdge(1, 2, 1); //
// graph.insertEdge(1, 3, 1); //
// graph.insertEdge(1, 4, 1); //
//更新边的关系
graph.insertEdge(0, 1, 1);
graph.insertEdge(0, 2, 1);
graph.insertEdge(1, 3, 1);
graph.insertEdge(1, 4, 1);
graph.insertEdge(3, 7, 1);
graph.insertEdge(4, 7, 1);
graph.insertEdge(2, 5, 1);
graph.insertEdge(2, 6, 1);
graph.insertEdge(5, 6, 1);
//显示一把邻结矩阵
graph.showGraph();
//测试一把，我们的dfs遍历是否ok
System.out.println("深度遍历");
graph.dfs(); // A->B->C->D->E
}
程序运行结果
[0, 1, 1, 0, 0]
[1, 0, 1, 1, 1]
[1, 1, 0, 0, 0]
[0, 1, 0, 0, 0]
[0, 1, 0, 0, 0]
深度遍历
A->B->C->D->E->
//由于图的代码会复杂一些我想缕一缕，图的定点自定义放在vertexList中，边的关系也是自己insertEdge方法设置存在int[][] edges二维数组中即邻接矩阵，深度优先先从调用无参的dfs方法开始，创建并且遍历boolean[] isVisited数组，此数组由于布尔默认值为false，所以用if !isVisited[i] 这个条件继续将其已经其下标作为参数进入有带参的dfs，下标 i 肯定是从0开始，因而图的遍历起点就是vertexList中的0号元素，开始先打印，再将此点设置为true，继续去用getFirstNeighbor方法去拿到邻居；
而getFirstNeighbor方法中将上面的 i 下标作为参数，并且在方法中其值不变作为二维数组的第一个参数即列固定，根据 j 的挪动判断edges[index][j] > 0即可拿到邻接点；
继续在带参的dfs中判断该邻接点w 是否为-1即其是否被访问过，每访问过我继续来一遍上述过程即dfs(isVisited, w)
若访问过，我需要拿到该顶点的下一个邻接点即用getNextNeighbor方法，getNextNeighbor方法首先传入参数 i 为用getFirstNeighbor找邻接的那个点在
vertexList中的下标，第二个参数w为用getFirstNeighbor找到的已经被访问过的那个邻接点在vertexList中的下标，其实还是列不变，找另一个邻接点；
4.3图的广度优先遍历
4.3.1代码思路
图的广度优先搜索(Broad First Search) ，类似于一个分层搜索的过程，广度优先遍历需要使用一个队列以保持访问过的结点的顺序，以便按这个顺序来访问这些结点的邻接结点
广度优先遍历的编码流程：
- 访问当前顶点 v 并标记结点 v 为已访问，并将顶点 v 入队
- 将顶点 v 出队，并在同一层搜索顶点 v 的邻接点，将没有访问过的邻接点其加入队列中，说明这些邻接点待访问
- 以队列头部的顶点作为新的顶点 v ，并进行与之前相同的操作：将顶点 v 出队 …
- 直至队列为空
- 经过如上步骤，图中可能还有其他顶点未被访问，继续从下一个顶点执行如上操作
举例说明： - 访问顶点 A 后输出 A ，并将顶点 A 压入队列中
- 开始不断循环，循环条件：队列不为空
- 将顶点 A 出队，找到顶点的的所有邻接点：顶点 B 和顶点 C ，顶点 B 和顶点 C 均没有被访问过，将其入队
- 队列不为空，将队列头（顶点 B）取出，顶点 B 的邻接点为：顶点 C 、顶点 D 、顶点 E ，顶点 C
已经访问过了，不再添加至队列中，顶点 D 和顶点 E 均没有被访问过，将其入队 - 队列不为空，将队列头（顶点 C）取出，顶点 C 的邻接点为：顶点 A 和顶点 B ，顶点 A 和顶点 B 均被访问过，不再添加至队列
- 队列不为空，将队列头（顶点 D）取出，D 没有邻接点，啥也不做
- 队列不为空，将队列头（顶点 E）取出，E 没有邻接点，啥也不做
- 队列为空，退出循环
以上所有操作仅是一轮，还需要再对图中其他顶点进行以上操作
总结：
-
从图中某顶点 v 出发，在访问了 v 之后依次访问 v
的各个未曾访问过的邻接点，然后分别从这些邻接点出发依次访问它们的邻接点，并使得“先被访问的顶点的邻接点先于后被访问的顶点的邻接点被访问，直至图中所有已被访问的顶点的邻接点都被访问到。 -
如果此时图中尚有顶点未被访问，则需要另选一个未曾被访问过的顶点作为新的起始点，重复上述过程，直至图中所有顶点都被访问到为止。
我把图重新画了一下，可以更好地理解广度优先遍历，即先把同一层顶点先遍历了，添加至队列中，再去到下一层
4.3.2代码实现
编写图的广度优先遍历
class Graph {
private ArrayList<String> vertexList; // 存储顶点集合
private int[][] edges; // 存储图对应的邻结矩阵
private int numOfEdges; // 表示边的数目
private boolean[] isVisited;//记录某个结点是否被访问
// 构造器
public Graph(int n) {
// 初始化矩阵和vertexList
edges = new int[n][n];
vertexList = new ArrayList<String>(n);
numOfEdges = 0;
}
// 插入结点
public void insertVertex(String vertex) {
vertexList.add(vertex);
}
// 添加边
/**
*
* @param v1 第二个顶点对应的下标
* @param v2 第二个顶点对应的下标
* @param weight 表示权值，0：不连接；1：连接
*/
public void insertEdge(int v1, int v2, int weight) {
edges[v1][v2] = weight;
edges[v2][v1] = weight;
numOfEdges++;
}
// 图中常用的方法
// 返回结点的个数
public int getNumOfVertex() {
return vertexList.size();
}
// 得到边的数目
public int getNumOfEdges() {
return numOfEdges;
}
// 返回结点i(下标)对应的数据 0->"A" 1->"B" 2->"C"
public String getValueByIndex(int i) {
return vertexList.get(i);
}
// 返回v1和v2的权值
public int getWeight(int v1, int v2) {
return edges[v1][v2];
}
// 显示图对应的矩阵
public void showGraph() {
for (int[] link : edges) {
System.out.println(Arrays.toString(link));
}
}
// 得到第一个邻接结点的下标 w
/**
*
* @param index
* @return 如果存在就返回对应的下标，否则返回-1
*/
public int getFirstNeighbor(int index) {
for (int j = 0; j < vertexList.size(); j++) {
if (edges[index][j] > 0) {
return j;
}
}
return -1;
}
// 根据前一个邻接结点的下标来获取下一个邻接结点
public int getNextNeighbor(int v1, int v2) {
for (int j = v2 + 1; j < vertexList.size(); j++) {
if (edges[v1][j] > 0) {
return j;
}
}
return -1;
}
// 对一个结点进行广度优先遍历的方法
private void bfs(boolean[] isVisited, int i) {
int u; // 表示队列的头结点对应下标
int w; // 邻接结点w
// 队列，记录结点访问的顺序
LinkedList<Integer> queue = new LinkedList<Integer>();
// 访问结点，输出结点信息
System.out.print(getValueByIndex(i) + "=>");
// 标记为已访问
isVisited[i] = true;
// 将结点加入队列
queue.addLast(i);
while (!queue.isEmpty()) {// 体现出我们的广度优先
// 取出队列的头结点下标
u = queue.removeFirst();
// 得到第一个邻接结点的下标 w
w = getFirstNeighbor(u);
while (w != -1) {// 找到
// 是否访问过
if (!isVisited[w]) {
System.out.print(getValueByIndex(w) + "=>");
// 标记已经访问
isVisited[w] = true;
// 入队
queue.addLast(w);
}
// 以u为前驱点，找w后面的下一个邻结点
w = getNextNeighbor(u, w);
}
}
}
// 遍历所有的结点，都进行广度优先搜索
public void bfs() {
boolean[] isVisited = new boolean[vertexList.size()];
for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
if (!isVisited[i]) {
bfs(isVisited, i);
}
}
}
}
测试代码
public static void main(String[] args) {
// 测试一把图是否创建ok
String Vertexs[] = { "A", "B", "C", "D", "E" };
int n = Vertexs.length; // 结点的个数
// String Vertexs[] = {"1", "2", "3", "4", "5", "6", "7", "8"};
// 创建图对象
Graph graph = new Graph(n);
// 循环的添加顶点
for (String vertex : Vertexs) {
graph.insertVertex(vertex);
}
// 添加边
// A-B A-C B-C B-D B-E
graph.insertEdge(0, 1, 1); // A-B
graph.insertEdge(0, 2, 1); // A-C
graph.insertEdge(1, 2, 1); // B-C
graph.insertEdge(1, 3, 1); // B-D
graph.insertEdge(1, 4, 1); // B-E
// 显示一把邻结矩阵
graph.showGraph();
// 测试一把，我们的bfs遍历是否ok
System.out.println("广度优先");
graph.bfs(); // A->B->C->D->E
}
程序运行结果
[0, 1, 1, 0, 0]
[1, 0, 1, 1, 1]
[1, 1, 0, 0, 0]
[0, 1, 0, 0, 0]
[0, 1, 0, 0, 0]
广度优先
A=>B=>C=>D=>E=>
缕一下：代码上与深度优先是一样的，从遍历isVisited数组开始，以布尔默认false值进入重载的bfs，打印、标记为true后将其入队，再出队用getFirstNeighbor闹到邻接点，没访问过直接打印再标记为true继续入队循环这样搞，访问过就用getNextNeighbor找另一个邻接点，思路还是很清晰的；
我要再说一下，因为虚空的isVisited数组和真实的vertexList数组存在逻辑关系，再加上定点是你自己有序的创建到数组里的，getNextNeighbor方法中v2+1就代表跳过这个顶点，找其他到v1列即数组中的v1号元素的edge值大于0的，即就是找其他邻接定点
4.4深度 VS 广度优先
待遍历的图
创建图
graph.insertEdge(0, 1, 1);
graph.insertEdge(0, 2, 1);
graph.insertEdge(1, 3, 1);
graph.insertEdge(1, 4, 1);
graph.insertEdge(3, 7, 1);
graph.insertEdge(4, 7, 1);
graph.insertEdge(2, 5, 1);
graph.insertEdge(2, 6, 1);
graph.insertEdge(5, 6, 1);
理论输出顺序：
- 深度优先遍历顺序为 1->2->4->8->5->3->6->7
- 广度优先算法的遍历顺序为：1->2->3->4->5->6->7->8
测试代码
public class GraphDemo {
public static void main(String[] args) {
// 测试一把图是否创建ok
String Vertexs[] = {"1", "2", "3", "4", "5", "6", "7", "8"};
int n = Vertexs.length; // 结点的个数
// 创建图对象
Graph graph = new Graph(n);
// 循环的添加顶点
for (String vertex : Vertexs) {
graph.insertVertex(vertex);
}
//更新边的关系
graph.insertEdge(0, 1, 1);
graph.insertEdge(0, 2, 1);
graph.insertEdge(1, 3, 1);
graph.insertEdge(1, 4, 1);
graph.insertEdge(3, 7, 1);
graph.insertEdge(4, 7, 1);
graph.insertEdge(2, 5, 1);
graph.insertEdge(2, 6, 1);
graph.insertEdge(5, 6, 1);
//显示一把邻结矩阵
graph.showGraph();
//测试一把，我们的dfs遍历是否ok
System.out.println("深度遍历");
graph.dfs(); // [1->2->4->8->5->3->6->7]
System.out.println();
System.out.println("广度优先!");
graph.bfs(); // [1->2->3->4->5->6->7->8]
}
}
程序运行结果
[0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0]
[1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0]
[1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0]
[0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1]
[0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1]
[0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0]
[0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0]
[0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0]
深度遍历
1->2->4->8->5->3->6->7->
广度优先!
1=>2=>3=>4=>5=>6=>7=>8=>
扫一扫
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