DP-背包问题-多重背包

多重背包问题：

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包。

第 i 种物品最多有 si 件，每件体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。

输出最大价值。

1.朴素(和完全背包差不多，就多了个k<=s[i])

O(N*V*S) 

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=105,M=105;
int v[N],w[N],s[N],f[N][M];
int main(){
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;++i){
        cin>>v[i]>>w[i]>>s[i];
    }
    for(int i=1;i<=n;++i){
        for(int j=0;j<=m;++j){
            for(int k=0;k*v[i]<=j&&k<=s[i];++k){// <=j 不是 <=m
                f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]*k]+w[i]*k);
            }
        }
    }
    cout<<f[n][m]<<endl;
}

2.对上面的代码做等价变形去掉第一维，第二重循环倒着枚举体积 j

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int v[105],w[105],s[105],f[105];
int main(){
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;++i){
        cin>>v[i]>>w[i]>>s[i];
    }
    for(int i=1;i<=n;++i){
        for(int j=m;j>=v[i];--j){
            for(int k=1;k*v[i]<=j&&k<=s[i];++k){
                f[j]=max(f[j],f[j-v[i]*k]+w[i]*k);
            }
        }
    }
    cout<<f[m]<<endl;
}

3.二进制优化

对于第三重循环，不必从0到s枚举，可以把s分成1，2，3，...，2^k （2^k<=s）

如把200分成 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 73 (256就大于200了，不可)

这些数可以组成0到200之间的任何数

这些数，要么选一个，要么不选，相当于对这些数做一个01背包

时间复杂度 O(N*V*logS) （N*logS件物品的01背包）

v[],w[]数组大小=N*logS (N种物品，每种拆分成logS组)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int v[12005],w[12005],f[2005];
int main(){
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    int cnt=0;
    for(int i=1;i<=n;++i){
        int a,b,s;
        cin>>a>>b>>s;
        int k=1;
        while(k<=s){
            cnt++;
            v[cnt]=a*k;
            w[cnt]=b*k;
            s-=k;
            k<<=1;
        }
        if(s>0){
            cnt++;
            v[cnt]=a*s;
            w[cnt]=b*s;
        }
    }
    n=cnt;
    for(int i=1;i<=n;++i){
        for(int j=m;j>=v[i];--j){
            f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
        }
    }
    cout<<f[m]<<endl;
}

提问：为什么多重背包不能试下完全背包的优化方法呢？

先把状态转移式展开写，

额，f[i][j-v]多了一项。

现在妄图用 已知的f[i,j-v]（下面那堆数的最大值）去求f[i,j]（上面那堆数的最大值）。这是无法做到的。

为什么完全背包这里不会多一项呢？

因为完全背包是每个物品有无限个，

如果体积限制是j

f[i][j]能放 j/v 个物体

f[i,j-v]就能放 (j-v)/v 个物体，即 j/v-1 个物体。

但是多重背包就始终是s[i]个物体。

3. 单调队列优化

//多重背包 单调队列优化
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N=20010;
int n,m;
int f[N],g[N],q[N];
int main(){
    cin>>n>>m;
    for(int i=0;i<n;i++){
        int v,w,s; //体积、价值、数量
        cin>>v>>w>>s;
        memcpy(g,f,sizeof f); //f备份到g (注意f[k]是通过前面的旧值g[q[hh]]来更新，所以窗口在g数组上滑动)
        for(int j=0;j<v;j++){//分成[0,v) v个类 对每个类做滑动窗口
            int hh=0,tt=-1;
            for(int k=j;k<=m;k+=v){ //窗口: [j, j+v, j+2v...] j=m%v
                if (hh<=tt && q[hh]<k-s*v) hh++ ; //q[hh]不在窗口[k-sv,k-v]内，队头出队
                //注意 这里滑动窗口求的"最大值"，指的是 窗口中物品价值+还能放入的物品价值 的最大值
                //设f[x], 如果用g[k]比用g[q[tt]]更新f[x]获得更大价值, 则有g[q[tt]]-(q[tt]-x)/v*w<=g[k]-(k-x)/v*w，移项化简得下式
                while(hh<=tt && g[q[tt]]+(k-q[tt])/v*w<=g[k]) tt--;
                q[++tt]=k; //下标入队
                f[k]=g[q[hh]]+(k-q[hh])/v*w; //f[k]=窗口中的最大值+还能放入物品的价值 (k-q[hh])/v还能放入的物品个数
            }
        }
    }
    //两层内循环控制f[0..m]进出队各一次O(m)，最外层循环O(n)，时间复杂度O(nm)
    cout<<f[m]<<endl;
    return 0;
}