【CDQ分治总结】CDQ分治 | 偏序 | N

最新推荐文章于 2022-05-22 09:29:56 发布
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#CDQ分治 #分治 #偏序

本文介绍了一种名为CDQ分治的算法，该算法适用于解决高维偏序问题，能够简化复杂的逻辑处理流程。文中详细解释了算法的基本原理，并通过二维和三维偏序问题实例对比了非CDQ解法与CDQ解法的不同，展示了CDQ分治算法的优势。

摘要生成于 C知道 ，由 DeepSeek-R1 满血版支持， 前往体验 >


CDQ分治题型总结



概述


CDQ分治是一种通过降维来解决高维偏序问题的分治算法，可避免使用某些复杂数据结构。

算法考虑的关键在于：将两个答案计算完毕的区间合并时，左段区间将会对右段区间造成怎样的影响。




范例


例1：（二维偏序）【BHOJ 14】求逆序对 （其实第一维就是数组下标，已经有序了）

非CDQ解法：

  • 权值树状数组 / 权值线段树：把数离散化，每读入一个数就查询在当前数之前的、且比当前数大的数的个数，然后累加进 s u m sum sum，最后输出 s u m sum sum 即可。
  • 平衡树：更简单了，边插入边累加 i − r a n k i - rank i−rank，最后输出 s u m sum sum 即可。

CDQ解法：

二元组设定：设二元组 &lt; a , b &gt; &lt;a, b&gt; <a,b> 表示数组第 a a a 个元素的值是 b b b，那求逆序对就是问总共存在多少对 &lt; a i , b i &gt; 、 &lt; a j , b j &gt; &lt;a_i, b_i&gt;、&lt;a_j, b_j&gt; <ai​,bi​>、<aj​,bj​> 使得 a i &lt; a j a_i &lt; a_j ai​<aj​（在它前面）并且 b i &gt; b j b_i &gt; b_j bi​>bj​（比它大）。

降维预处理：按 a a a 把整个二元组数组排升序（其实就是按照原本数组的顺序来…这一步实际不用操作）
由此可以保证每次分治开始前，左段任意一项的 a a a 都小于右段任意一项的 a a a （1）

“分治”目的：让分治完毕的区间按 b b b 升序（按 a a a 可能就无序了）。
由于上次分治达成目的，所以现在拿到的左右两段内部都是按 b b b 升序的（2）
为了自洽，这次分治需要将两段按 b b b 升序进行归并（3）

“分治”过程：

  • 由 (1)(2)(3)，每次分治过程中产生的新的答案数就可求了。记左右段名字分别为 L 、 R L、R L、R，长度分别为 l e n l 、 l e n r len_l、len_r lenl​、lenr​。
  • 若 ∃ i ∈ [ 0 , l e n l ) 、 j ∈ [ 0 , l e n r )    s . t .    L [ i ] . b &gt; R [ j ] . b \exist i \in [0, len_l)、j\in [0, len_r)\ \ s.t.\ \ L[i].b &gt; R[j].b ∃i∈[0,lenl​)、j∈[0,lenr​)  s.t.  L[i].b>R[j].b：
    • 由 (2) 知 L [ i   . . .   l e n l ) . b L[i\ ...\ len_l).b L[i ... lenl​).b 都 &gt; R [ j ] . b &gt;R[j].b >R[j].b
    • 由 (1) 知 L [ i   . . .   l e n l ) . a L[i\ ...\ len_l).a L[i ... lenl​).a 都 &lt; R [ j ] . a &lt;R[j].a <R[j].a
  • 因此统计所有满足条件的 i 、 j i、j i、j，就得到了这次归并过程产生的新的答案数。
  • 为了自洽还需要做 (3)，因此我们需要在归并的同时找满足条件的 i、j。这显然是易实现的，因为按 b b b 升序归并的过程恰能不重不漏地遇见每一个满足条件的 i、j。

代码：

权值树状数组：

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>


constexpr int MN(1e6+7);


#define lowbit(x) (x)&-(x)
int a[MN];
class Bitree
{
private:

	int n;
	int a[MN];

public:

	inline void init(const int n)
	{
		this->n = n;
		memset(a, 0, sizeof(*a) * (n+1));
	}

	void add(int i)
	{
		while (i <= n)
			++a[i], i += lowbit(i);
	}

	int sum(int i)
	{
		int s = 0;
		while (i > 0)
			s += a[i], i -= lowbit(i);
		return s;
	}
} bt;
	



struct Node
{
	int val;
	int id;
	inline bool operator <(const Node &o) const
	{
		return val < o.val;
	}
} t[MN];
int p[MN];



int main()
{
	int n;
	while (~scanf("%d", &n))
	{
		for (int i=1; i<=n; t[i].id=i, ++i)
			scanf("%d", &t[i].val);

		// discretization
		std::sort(t+1, t+n+1);
		int tot = 0;
		p[t[1].id] = ++tot;
		for (int i=2; i<=n; ++i)
			p[t[i].id] = t[i].val == t[i-1].val ? tot : ++tot;

		// dynamic counting
		unsigned ans = 0;
		bt.init(n);
		for (int i=1; i<=n; ++i)
		{
			bt.add(p[i]);
			ans += i - bt.sum(p[i]);
		}
		printf("%u\n", ans);
	}
}

平衡树（以 SBT 为例）：

#include <stdio.h>
#include <string.h>

#define LL long long
#define _BS 1048576
char _bf[_BS];
char *__p1=_bf,*__p2=_bf;
#define _IO char *_p1=__p1,*_p2=__p2;
#define _OI __p1=_p1,__p2=_p2;

#ifdef _KEVIN
#define GC getchar()
#else
#define GC (_p1==_p2&&(_p2=(_p1=_bf)+fread(_bf,1,_BS,stdin),_p1==_p2)?EOF:*_p1++)
#endif
#define PC putchar
#define _Q_(x) {register char _c=GC,_v=1;for(x=0;_c<48||_c>57;_c=GC)if(_c==45)_v=-1;
#define _H_(x) for(;_c>=48&&_c<=57;x=(x<<1)+(x<<3)+_c-48,_c=GC);if(_v==-1)x=-x;}
#define sc(x) _Q_(x)_H_(x)
#define se(x) _Q_(x)else if(_c==EOF)return 0;_H_(x)

template<class T>
void UPRT(const T _){if(_>=10)UPRT(_/10);PC(_%10+48);}

constexpr int MN(1e6+7);

template <typename vint, typename xint>
class SBT
{
private:

	xint root, tot;
	struct SBN
	{
		xint li, ri, sz;
		vint v;
	} t[MN];

	inline void l_r(xint &i)
	{
		const xint ri = t[i].ri;
		t[i].ri = t[ri].li, t[ri].li = i, t[ri].sz = t[i].sz;
		t[i].sz = t[t[i].li].sz + t[t[i].ri].sz + 1;
		i = ri;
	}

	inline void r_r(xint &i)
	{
		const xint li = t[i].li;
		t[i].li = t[li].ri, t[li].ri = i, t[li].sz = t[i].sz;
		t[i].sz = t[t[i].li].sz + t[t[i].ri].sz + 1;
		i = li;
	}

	void mt(xint &i, const bool rr)
	{
		if (rr)
		{
			if (t[t[t[i].ri].ri].sz > t[t[i].li].sz)
				l_r(i);
			else if (t[t[t[i].ri].li].sz > t[t[i].li].sz)
				r_r(t[i].ri), l_r(i);
			else
				return;
		}
		else
		{
			if (t[t[t[i].li].li].sz > t[t[i].ri].sz)
				r_r(i);
			else if (t[t[t[i].li].ri].sz > t[t[i].ri].sz)
				l_r(t[i].li), r_r(i);
			else
				return;
		}

		mt(t[i].li, 0), mt(t[i].ri, 1), mt(i, 0), mt(i, 1);
	}

	void _insert(xint &i, const vint v)
	{
		if (i)
		{
			++t[i].sz;
			if (v < t[i].v)
				_insert(t[i].li, v), mt(i, 0);
			else
				_insert(t[i].ri, v), mt(i, 1);
		}
		else
		{
			i = ++tot;
			t[i].v = v;
			t[i].sz = 1;
		}
	}

	xint _lower_rk(xint i, const vint v) const
	{
		xint rk = 1;
		while (i)
		{
			if (t[i].v >= v)
				i = t[i].li;
			else
				rk += t[t[i].li].sz + 1, i = t[i].ri;
		}

		return rk;
	}

	xint _upper_rk(xint i, const vint v) const
	{
		xint rk = 0;
    	while (i)
    	{
    		if (t[i].v > v)
    			i = t[i].li;
    		else
    			rk += t[t[i].li].sz + 1, i = t[i].ri;
		}

		return rk;
	}

public:

	inline void init(const int n)
	{
		memset(t, 0, sizeof(*t) * (n+2));
		root = tot = 0;
	}

	inline void insert(const vint v)
	{
		_insert(this->root, v);
	}

	inline xint lower_rk(const vint v) const
	{
		return _lower_rk(this->root, v);
	}

	inline xint upper_rk(const vint v) const
	{
		return _upper_rk(this->root, v);
	}
};

SBT<int, int> sbt;

int main()
{
	_IO

	
	int n, tp;
	LL sum;
	while (1)
	{
		se(n)
		sbt.init(n), sum = 0;

		for (int i=1; i<=n; ++i)
		{
			sc(tp)
			sbt.insert(tp);
			sum += i - sbt.upper_rk(tp);
		}

		UPRT(sum), PC(10);
	}

	return 0;
}

CDQ：

#include <stdio.h>
#include <string.h>

constexpr int MN(1e6);

int a[MN], t[MN];
unsigned tot;

void merge(int *L, int len_l, int len_r)
{
	int *R = a + len_l;
	int top = 0, i = 0, j = 0;

	while (i<len_l && j<len_r)
	{
		if (L[i] > R[j])
		{
			t[top++] = R[j++];
			tot += len_l - i;	// a[i ... len_l-1] 共len_l-1-i+1 == len_l-i个数都比b[j]大，逆序对数+=len_l-i
		}
		else
			t[top++] = L[i++];
	}
	while (i < len_l)
		t[top++] = L[i++];
	while (j < len_r)
		t[top++] = R[j++];

	memcpy(L, t, sizeof(*L) * top);
}

void cdq(int *a, int n)
{
	if (n <= 1)
		return;

	int mid = n >> 1;
	cdq(a, mid);
	cdq(a+mid, n-mid);
	merge(a, mid, n-mid);
}


int main()
{
	int n;
	while (~scanf("%d", &n))
	{
		tot = 0;
		for (int i=0; i<n; ++i)
			scanf("%d", a+i);

		cdq(a, n);

		printf("%u\n", tot);
	}

	return 0;
}


好吧上面这个问题好像还不足以体现CDQ的高明之处，现在我们稍微加大难度，看一下三维偏序问题：(大名鼎鼎的板子题陌上花开~）


例2：（三维偏序）【P3810】【模板】三维偏序（陌上花开）

非CDQ解法：第一维排序、第二维树状数组、第三维平衡树

树状数组套平衡树嘛…

先说一下平衡树和树状数组各自的任务：

  • 先记所有元素中最大的 b b b 值是 m a x b max_b maxb​
  • 再记当前处理到第 n o w now now 个元素，其 a ,   b ,   c a,\ b,\ c a, b, c 值分别记为 a n o w ,   b n o w ,   c n o w a_{now},\ b_{now},\ c_{now} anow​, bnow​, cnow​
  • 平衡树：共有 m a x b max_b maxb​ 棵。每棵树对应一个 b b b 值，记为 t r e e . b tree.b tree.b，这棵树里面存放着 [ 0 ,   n o w ] [0,\ now] [0, now] 这些元素中 b b b 值等于 t r e e . b tree.b tree.b 的元素的 c c c 值。
  • 树状数组：维护 m a x b max_b maxb​ 这么多棵平衡树的“前缀和”。比如处理到第 n o w now now 个元素的时候，我们所查询的“前缀和”的定义是： t r e e . b ∈ [ 0 , b n o w ] tree.b \in [0, b_{now}] tree.b∈[0,bnow​] 的这么多棵树的 c n o w c_{now} cnow​ 的 r a n k rank rank 之和。

所以如果我们按 a a a 非降序遍历，遍历到 n o w now now 的时候可以就保证前面的 a a a 值都满足 ≤ \le ≤ 条件。此时再查询区间 [ 0 , b n o w ] [0, b_{now}] [0,bnow​] 内的 “前缀和”，就又同时满足了 b 、 c b、c b、c 值的 ≤ \le ≤ 条件，就可以得到 n o w now now 这个元素对应的答案了。


实际写代码的时候要注意两个地方：

  • 1.最外层按照 a a a 的遍历应是一批一批地进行的。也就是说要一次性插入一批 a a a 相等的元素，然后再挨个查询“前缀和”并记录答案。
  • 2.注意这里是小于等于，所以 r a n k rank rank 实际上应该是一个被称为 u p p e r _ r a n k upper\_rank upper_rank 的东西。（并列的时候按最后一个的排名算）

然后会发现树套树这货码量又大常数又大（q^q）！所以偏序问题还是CDQ大法好啊！



CDQ解法：

二元组设定：设二元组 &lt; a , b &gt; &lt;a, b&gt; <a,b> 表示数组第 a a a 个元素的值是 b b b，那求逆序对就是问总共存在多少对 &lt; a i , b i &gt; 、 &lt; a j , b j &gt; &lt;a_i, b_i&gt;、&lt;a_j, b_j&gt; <ai​,bi​>、<aj​,bj​> 使得 a i &lt; a j a_i &lt; a_j ai​<aj​（在它前面）并且 b i &gt; b j b_i &gt; b_j bi​>bj​（比它大）。

降维预处理：按 a a a 把整个二元组数组排升序（其实就是按照原本数组的顺序来…这一步实际不用操作）
由此可以保证每次分治开始前，左段任意一项的 a a a 都小于右段任意一项的 a a a （1）

“ 分治 ” 目的：让分治完毕的区间按 b b b 升序（按 a a a 可能就无序了）。
由于上次分治达成目的，所以现在拿到的左右两段内部都是按 b b b 升序的（2）
为了自洽，这次分治需要将两段按 b b b 升序进行归并（3）

“ 分治 ” 过程：

  • 由 (1)(2)(3)，每次分治过程中产生的新的答案数就可求了。记左右段名字分别为 L 、 R L、R L、R，长度分别为 l e n l 、 l e n r len_l、len_r lenl​、lenr​。
  • 若 ∃ i ∈ [ 0 , l e n l ) 、 j ∈ [ 0 , l e n r )    s . t .    L [ i ] . b &gt; R [ j ] . b \exist i \in [0, len_l)、j\in [0, len_r)\ \ s.t.\ \ L[i].b &gt; R[j].b ∃i∈[0,lenl​)、j∈[0,lenr​)  s.t.  L[i].b>R[j].b：
    • 由 (2) 知 L [ i   . . .   l e n l ) . b L[i\ ...\ len_l).b L[i ... lenl​).b 都 &gt; R [ j ] . b &gt;R[j].b >R[j].b
    • 由 (1) 知 L [ i   . . .   l e n l ) . a L[i\ ...\ len_l).a L[i ... lenl​).a 都 &lt; R [ j ] . a &lt;R[j].a <R[j].a
  • 因此统计所有满足条件的 i 、 j i、j i、j，就得到了这次归并过程产生的新的答案数。
  • 为了自洽还需要做 (3)，因此我们需要在归并的同时找满足条件的 i、j。这显然是易实现的，因为按 b b b 升序归并的过程恰能不重不漏地遇见每一个满足条件的 i、j。

代码：

树状数组套平衡树（以 SBT 为例）：

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <stdlib.h>
#include <algorithm>

#define LL long long
#define _BS 1048576
char _bf[_BS];
char *__p1=_bf,*__p2=_bf;
#define _IO char *_p1=__p1,*_p2=__p2;
#define _OI __p1=_p1,__p2=_p2;

#ifdef _KEVIN
#define GC getchar()
#else
#define GC (_p1==_p2&&(_p2=(_p1=_bf)+fread(_bf,1,_BS,stdin),_p1==_p2)?EOF:*_p1++)
#endif
#define PC putchar
#define sc(x) {register char _c=GC,_v=1;for(x=0;_c<48||_c>57;_c=GC)if(_c==45)_v=-1;for(;_c>=48&&_c<=57;x=(x<<1)+(x<<3)+_c-48,_c=GC);if(_v==-1)x=-x;}

template<class T>
void UPRT(const T _){if(_>=10)UPRT(_/10);PC(_%10+48);}

constexpr int MN(1e5+7), MV(2e5+7);

template <typename vint, typename xint = int>
class SBT
{
public:

    xint root[MV], tot;
    struct SBN
    {
        xint li, ri, sz;
        vint v;
    } t[30 * MV];

public:

    inline void l_r(xint &i)
    {
        const xint ri = t[i].ri;
        t[i].ri = t[ri].li, t[ri].li = i, t[ri].sz = t[i].sz;
        t[i].sz = t[t[i].li].sz + t[t[i].ri].sz + 1;
        i = ri;
    }

    inline void r_r(xint &i)
    {
        const xint li = t[i].li;
        t[i].li = t[li].ri, t[li].ri = i, t[li].sz = t[i].sz;
        t[i].sz = t[t[i].li].sz + t[t[i].ri].sz + 1;
        i = li;
    }

    void mt(xint &i, const bool rr)
    {
        if (rr)
        {
            if (t[t[t[i].ri].ri].sz > t[t[i].li].sz)
                l_r(i);
            else if (t[t[t[i].ri].li].sz > t[t[i].li].sz)
                r_r(t[i].ri), l_r(i);
            else
                return;
        }
        else
        {
            if (t[t[t[i].li].li].sz > t[t[i].ri].sz)
                r_r(i);
            else if (t[t[t[i].li].ri].sz > t[t[i].ri].sz)
                l_r(t[i].li), r_r(i);
            else
                return;
        }

        mt(t[i].li, 0), mt(t[i].ri, 1), mt(i, 0), mt(i, 1);
    }

    void insert(xint &i, const vint v)
    {
        if (i)
        {
            ++t[i].sz;
            if (v < t[i].v)
                insert(t[i].li, v), mt(i, 0);
            else
                insert(t[i].ri, v), mt(i, 1);
        }
        else
        {
            i = ++tot;
            t[i].v = v;
            t[i].sz = 1;
        }
    }

    xint lower_rk(xint i, const vint v) const
	{
		xint rk = 1;
		while (i)
		{
			if (t[i].v >= v)
				i = t[i].li;
			else
				rk += t[t[i].li].sz + 1, i = t[i].ri;
		}

		return rk;
	}

	xint upper_rk(xint i, const vint v) const
	{
		xint rk = 0;
    	while (i)
    	{
    		if (t[i].v > v)
    			i = t[i].li;
    		else
    			rk += t[t[i].li].sz + 1, i = t[i].ri;
		}

		return rk;
	}
};

SBT<int> sbt;


int k;
inline void add(int x, const int v)
{
	while (x <= k)
		sbt.insert(sbt.root[x], v), x += x&-x;
}

inline int sum(int x, const int v)
{
	int sum = 0;
	while (x)
		sum += sbt.upper_rk(sbt.root[x], v), x -= x&-x;

	return sum;
}

struct Node
{
	int a, b, c;
	inline bool operator <(const Node &o) const
	{
		return a<o.a;
	}
} a[MN];

bool vis[MN];
int ans[MN], f[MN];

int main()
{
    _IO

    int n;
    sc(n)sc(k)
    for (int i=0 ;i<n; ++i)
    {
    	sc(a[i].a)
    	sc(a[i].b)
    	sc(a[i].c)
	}

	std::sort(a, a+n);

	for (int i=0; i<n; ++i)
	{
		if (!vis[i])
			for (int j=i; a[j].a == a[i].a && j<n; ++j)
				add(a[j].b, a[j].c), vis[j] = true;
		f[i] = sum(a[i].b, a[i].c);
	}

	for (int i=0; i<n; ++i)
		++ans[f[i]];

	for (int i=1; i<=n; ++i)
		UPRT(ans[i]), PC(10);

    return 0;
}

CDQ：

#include <stdio.h>
#include <string.h>

constexpr int MN(1e6);

int a[MN], t[MN];
unsigned tot;

void merge(int *L, int len_l, int len_r)
{
	int *R = a + len_l;
	int top = 0, i = 0, j = 0;

	while (i<len_l && j<len_r)
	{
		if (L[i] > R[j])
		{
			t[top++] = R[j++];
			tot += len_l - i;	// a[i ... len_l-1] 共len_l-1-i+1 == len_l-i个数都比b[j]大，逆序对数+=len_l-i
		}
		else
			t[top++] = L[i++];
	}
	while (i < len_l)
		t[top++] = L[i++];
	while (j < len_r)
		t[top++] = R[j++];

	memcpy(L, t, sizeof(*L) * top);
}

void cdq(int *a, int n)
{
	if (n <= 1)
		return;

	int mid = n >> 1;
	cdq(a, mid);
	cdq(a+mid, n-mid);
	merge(a, mid, n-mid);
}


int main()
{
	int n;
	while (~scanf("%d", &n))
	{
		tot = 0;
		for (int i=0; i<n; ++i)
			scanf("%d", a+i);

		cdq(a, n);

		printf("%u\n", tot);
	}

	return 0;
}


详解CDQ算法
zhuziyu_edward的博客
09-30 1977
详解CDQ算法 在这篇文章中， 我将带大家走进CDQ算法。 什么是CDQ算法 从二分说起 在解释cdq算法之前， 首先回顾算法中非常经典的分而治之。 Divide And Conquer(分而治之) 分而治之是计算机科学中非常经典的思想， 通常会把一个比较复杂的大问题， 分成两个（或多个）子问题， 分别递归分而治之去解决这些子问题， 最后把子问题的结果合并为原问题的解。 有了以上分而治之的思想后， 我们可以看一个非常经典的算法例子归并排序。 归并排序： 归并排序有以下几个步骤 把数组分成做左区间和右
高维偏序问题降维的有力武器——cdq分治
qq_42778110的博客
03-22 1085
目录问题引入陌上花开[1]题面分析预备知识偏序和全序 问题引入 陌上花开1 题面 若干个元素有三个属性a,b,ca,b,ca,b,c，问多少对数对（i,j）（i,j）（i,j）满足 ai≤aj,bi≤bj,ci≤cja_i\leq a_j , b_i\leq b_j , c_i\leq c_jai​≤aj​,bi​≤bj​,ci​≤cj​ 分析 如此类问题可以视为一个多维偏序问题，偏序即满足自反...
CDQ分治
YT910811的博客
11-01 180
前言: 之前一直想学来着。。。一直都忘了 这次vj上老师放了几道分治题,刚好有CDQ 开始我啥也不会,听说是主席树,就去学了学 危险行为,请勿模仿! 然后。。。就溜回来了 从三位偏序敲起到动态逆序对,杠了我两天。。。 还是没学会?(不存在的) 现在写篇博客整理一下 正文: 一.CDQ分治是怎样的算法? CDQ分治算法是基于时间的分治算法　　——李煜东《算法竞...
CDQ分治详解
m0_57344422的博客
05-22 1651
CDQ分治
分治算法，逆序对，三维偏序与CDQ分治
tanjianlang的博客
03-23 1431
当我们求解某些问题时，由于这些问题要处理的数据相当多，或求解过程相当复杂，使得直接求解法在时间上相当长，或者根本无法直接求出。 对于这类问题，我们往往先把它分解成几个子问题，找到求出这几个子问题的解法后，再找到合适的方法，把它们组合成求整个问题的解法。 如果这些子问题还较大，难以解决，可以再把它们分成几个更小的子问题，以此类推，直至可以直接求出解为止。这就是分治策略的基本思想。
[cdq分治习题练习]
MekakuCityActors的博客
08-20 626
bzoj1935 题意：给出n棵树的位置(xi,yi)，有m次询问，每次询问一个以(Xi,Yi)为左下角，(Li,Ri)为右上角的矩形内树的个数 题解：显然的三维偏序问题，一维是询问的时间T，一维是横坐标，一维是纵坐标。把初始的n棵树的位置当作插入，把询问当成4个二维前缀和相加减，由于时间是按照输入的顺序，所以第一维不需要排序，直接cdq分治处理第二维，树状数组维护第三维即可 /*********...
CDQ分治与整体二分
hipamp的博客
04-01 431
前言 CDQ分治和整体二分都是离线算法，并且都是基于分治的思想。大部分非强制在线的树套树题都可以使用整体二分或CDQ分治解决，当然也有一些是不行的，比如动态求区间种类数或者动态求区间 mexmexmex。 CDQ 分治 分治 首先要了解什么是分治，分治的全称为分而治之，英文名为 divide and conquerdivide\ and\ conquerdivide and conquer，和分治相关的算法有很多，譬如线段树，点分治，归并排序等。下面以归并排序为例。
【教程】简易CDQ分治教程&学习笔记
weixin_34040079的博客
12-25 223
前言 　　辣鸡蒟蒻__stdcall终于会CDQ分治啦！ CDQ分治是我们处理各类问题的重要武器。它的优势在于可以顶替复杂的高级数据结构，而且常数比较小；缺点在于必须离线操作。 　　CDQ分治的基本思想和实现都很简单，但是因为没有人给本蒟蒻详讲，所以我对着几篇论文头疼了一个下午，最终在menci和sxysxy大佬的帮助下学会了CDQ分治。本文介绍一些非常simple的CDQ分治问...
CDQ分治是什么
最新发布
08-10
<think>首先，用户的问题是关于CDQ分治算法的基本原理及其应用场景。我需要根据系统级指令来构建我的回答。 系统级指令关键点： - 所有行内数学表达式必须使用$...$格式。 - 独立公式必须使用$$...$$格式并单独成段。 - LaTeX语法正确。 - 使用中文回答。 - 生成相关问题。 - 回答中引用的段落末尾自然地添加引用标识。 - 回答结构清晰，帮助用户逐步解决问题，保证真实可靠。 参考站内引用： - 引用[1]：关于分治思想的描述，包括分块、递归等。 - 引用[2]：关于书籍的引用，不相关。 - 引用[3]：关于下载资源的链接，不相关。 用户真正的需求是理解CDQ分治的概念和原理，所以我需要专注于CDQ分治。 CDQ分治的基本原理： - CDQ分治是由陈丹琦（Chen Danqi）提出的一种算法，用于处理偏序问题，如三维偏序问题。 - 它是分治思想的一种应用，特别适合解决离线查询问题。 - 核心思想：将问题分成子问题，递归解决，然后合并结果，处理跨越子问题的部分。 应用场景： - 三维偏序问题：例如，给定点集，统计每个点满足某些条件的点数。 - 动态规划优化：如斜率优化等。 - 其他离线查询问题。 我的回答结构： 1. **介绍CDQ分治**：简要说明其背景和目的。 2. **基本原理**：解释算法步骤，使用数学表达式描述。 3. **应用场景**：列出常见应用。 4. **生成相关问题**：在最后添加相关问题。 5. **添加引用**：在引用段落末尾自然添加引用标识。 数学表达式： - 行内数学：如变量、点坐标等，使用$...$。 - 独立公式：如方程，使用$$...$$。 例如： - 行内：点$P_i = (a_i, b_i, c_i)$ - 独立：偏序关系公式。 生成相关问题： - 基于CDQ分治，如"CDQ分治如何优化三维偏序问题？"或"CDQ分治的时间复杂度分析？" 确保回答真实可靠： - 基于算法知识，CDQ分治常用于OI竞赛中处理偏序问题。 引用处理： - 参考引用[1]是关于分治思想的，我可以引用它来支持分治部分。 - 其他引用不相关，但系统说"请尽可能多的参考用户上一次的问题和你的回答"，但用户没有上一次问题，所以基于当前引用。 最终回答大纲： - 开头：介绍CDQ分治。 - 原理部分：分步骤解释，使用LaTeX。 - 应用场景：列举例子。 - 相关问题：在最后添加。 - 结尾：自然结束。</think>### CDQ分治算法的基本原理及其应用场景 CDQ分治（Chen Danqi Divide and Conquer）是由中国计算机科学家陈丹琦提出的一种分治算法变体，主要用于处理离线查询问题，特别是多维偏序问题（如三维偏序）。它在算法竞赛和数据处理中应用广泛，能高效解决一些复杂问题。下面我将逐步解释其基本原理和应用场景，确保内容清晰可靠。 #### 1. CDQ分治的基本原理 CDQ分治基于经典分治思想，但针对偏序问题进行了优化。核心思路是将问题递归分解为子问题，处理子问题内部和子问题之间的影响，最后合并结果。算法主要分为三个步骤：分、治、合。以下是详细解释： - **分（Divide）**：将输入数据（如点集）按某一维度（通常是时间或索引）分成两个大致相等的子集，记为左子集$L$和右子集$R$。例如，给定点集$P = \{P_1, P_2, \dots, P_n\}$，其中每个点$P_i = (a_i, b_i, c_i)$表示三维坐标，我们按第一维$a_i$排序并分割： $$ \text{mid} = \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor $$ 这样得到$L = \{P_i \mid i \leq \text{mid}\}$和$R = \{P_i \mid i > \text{mid}\}$。递归地对$L$和$R$应用相同过程。 - **治（Conquer）**：递归处理左子集$L$和右子集$R$，解决子问题内部的偏序关系。例如，在三维偏序问题中，目标是统计每个点$P_i$满足$a_j \leq a_i, b_j \leq b_i, c_j \leq c_i$的点数$j$（$j \neq i$）。递归调用确保子集内部的问题被解决。 - **合（Merge）**：合并子问题结果，并处理跨越子集$L$和$R$的影响。这是CDQ分治的关键： - 使用辅助数据结构（如树状数组或线段树）高效处理跨子集贡献。 - 例如，在三维偏序中，合并时需统计$L$中的点对$R$中点的贡献。具体做法： 1. 对$L$和$R$按第二维$b_i$排序。 2. 遍历$R$中的每个点$P_j$，同时维护一个树状数组，用于记录第三维$c_i$的累积值。 3. 对于$P_j$，查询树状数组中满足$c_k \leq c_j$的点数（$k$来自$L$），并累加到结果。 这确保了跨子集贡献在$O(n \log n)$时间内完成。 整个算法的时间复杂度为$O(n \log^2 n)$，其中$n$是数据规模。递归公式可表示为： $$ T(n) = 2T\left(\frac{n}{2}\right) + O(n \log n) $$ 其中$O(n \log n)$来自合并步骤的排序和树状数组操作。CDQ分治通过“分而治之”高效处理了偏序关系[^1]。 #### 2. CDQ分治的应用场景 CDQ分治特别适合离线查询问题，其中数据点固定，查询可批量处理。常见应用包括： - **三维偏序问题**：如统计逆序对或点对关系。例如，在竞赛中，给定点集统计每个点“支配”的点数（即所有维度都小于等于该点的点）。CDQ分治能高效解决，时间复杂度优于暴力$O(n^2)$。 - **动态规划优化**：用于优化序列问题，如最长上升子序列（LIS）或斜率优化问题。通过分治处理状态转移，减少计算量。 - **离线查询处理**：在数据库或算法中，处理批量查询，如区间统计或范围查询。CDQ分治将查询排序后递归处理，避免实时开销。 - **其他领域**：在计算几何（如最近点对问题）和机器学习数据预处理中也有应用，但需结合具体算法调整。 CDQ分治的优势在于其通用性和效率，但要求问题具有“可分治性”，即子问题独立且合并步骤可高效实现。实际应用中，常结合树状数组等数据结构提升性能。 #### 相关问题 1. CDQ分治如何处理更高维度的偏序问题（如四维偏序）？ 2. CDQ分治与普通分治算法的主要区别是什么？ 3. CDQ分治在动态规划优化中的具体实现案例？ [^1]: 分治思想的核心是递归分解问题，然后合并结果，这在CDQ分治中得到充分体现，如分割点集并递归处理子问题。 [^2]: 算法理论常参考经典书籍，但CDQ分治更常见于竞赛和算法论文。
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