Decoding and Error Correction

1.Encoding Function编码函数

• 编码函数定义:x=e(b)∈Bⁿ,for any b ∈B^m

1.1Error detect 差错检测

1. 对于x∈Bⁿ，里面1的个数被成为x的权weight of x，记为|x|
2. 奇偶校验码
   b=b₁b₂…b_m-1b_m
   定义e(b)=b₁b₂…b_mb_m+1
   其中b_m+1=0 如果b的权值为偶数
   否则b_m+1=1
3. 
4. 定义海明距离δ（x,y）为x⊕y的权值，|x⊕y|

• Theorem1最小距离，指的是最小海明距离
• TH2 编码函数e最多能检测出k个错误，当且仅当最小海明距离为k+1

1.2GROUP CODES群码

定义：当e(B^m)={e(b)|e(b)∈Bⁿ}=Ran(e)是Bⁿ的子群，编码函数e：B^m->Bⁿ被成为群码。

回忆一下子群的定义：N被成为Bⁿ的子群当满足
（a）Bⁿ的独异点在N
（b）x、y属于N，那么x*y属于N
（c）如果x属于N，那么x的逆也属于N

TH3假设e是一个群码，那么e的最小海明距离是非零码字的最小权值

1.3Constructing Group code构造群码

TH4 ⊕以及*运算符满足分配律
TH5 假设非负整数m<n，令r=n-m，同时，令H是一个n * r的布尔矩阵。 那么函数f_H:Bⁿ->B^r可以记为

• f_H(x)=x*H，x∈Bⁿ
• f_H是一个从群Bⁿ到B^r的一个同态（该定理的证明使用了分配律TH4）

推论 若N={x∈Bⁿ|x*H=0}，则N是Bⁿ的正规子群

关于推论的证明，最主要是运用了关于同态的核的概念，f(x)=e’我们可以知道x是f的核

补充：有四个等价的概念

• 一个定义在G上的同余关系
• 一个属于G的正规子群H
• 一个同态，从G->G’或者是G->G/R
• 同态函数f:G->G’的核

Parity Check Matrix一致性检验矩阵

这个变换中的[I H]就是一致性检验矩阵，I为单位矩阵，单位矩阵的位置可以随着变换而改变位置。

TH6
假设

• x=y₁y₂y₃…y_mx₁…x_r∈Bⁿ
• x=e_H(b)，b为B^m中的元素

那么

• x*H=0

推论
e_H(B^m)={e_H(b) | b∈B^m}是Bⁿ的子群

2.Decoding Function译码函数

• 一个映上函数d：Bⁿ->B^m被称为是与e关联的译码函数，如果d(x_t)=b’∈B^m，如果没有噪声下，b’=b

d○e=1_B^m^