【JOISC 2017】火车旅行（倍增）

最新推荐文章于 2023-09-10 19:50:49 发布

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本文介绍了一道JOISC2017竞赛题“火车旅行”的解题思路，采用倍增算法求解从一车站到另一车站间的最少停靠次数，通过预处理最左与最右可达站点来加速查询过程。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目链接：【JOISC 2017】火车旅行

题目大意：有 $n$ 个车站，每个车站有一个编号，第 $i$ 种车只会经过编号 $\ge i$ 的站台。有 $q$ 次询问，每次询问从 $i$ 号站台到 $j$ 号站台，在最优的乘车方案中，列车会停靠几次。

令 $l[k][i]$ 表示从 $i$ 号车站出发，经过 $2^k$ 次停靠能够到达的最左侧的站点， $r[k][i]$ 表示从 $i$ 号车站出发，经过 $2^k$ 次停靠能够到达的最右侧的站点。我们发现每个状态只可能从最左侧和最右侧的车站转移过来，则状态转移方程为：

l [k] [i] = m i n (l [k - 1] [l [k - 1] [i]], l [k - 1] [r [k - 1] [i]])

$l[k][i]=min(l[k-1][l[k-1][i]],l[k-1][r[k-1][i]])$

r [k] [i] = m a x (r [k - 1] [r [k - 1] [i]], r [k - 1] [l [k - 1] [i]])

$r[k][i]=max(r[k-1][r[k-1][i]],r[k-1][l[k-1][i]])$

对于每个询问，还是因为每个状态只可能从最左侧和最右侧的车站转移过来，所以按类似之前的方法倍增即可。时间复杂度 $\Theta((n+q)\log_2n)$ 。详见代码。

#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
const int logn = 17;
const int maxn = 100005;
int n, q, a[maxn], sz, st[maxn];
int l[maxn][logn], r[maxn][logn]; 
int main() {
    scanf("%d %*d %d", &n, &q);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%d", a + i);
    }
    st[sz = 0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        while (sz && a[st[sz]] < a[i]) sz--;
        l[i][0] = st[sz], st[++sz] = i;
    }
    st[sz = 0] = n;
    for (int i = n; i >= 1; i--) {
        while (sz && a[st[sz]] < a[i]) sz--;
        r[i][0] = st[sz], st[++sz] = i;
    }
    for (int k = 0; k < 16; k++) {
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            l[i][k + 1] = min(l[l[i][k]][k], l[r[i][k]][k]);
            r[i][k + 1] = max(r[r[i][k]][k], r[l[i][k]][k]);
        }
    }
    int x, y, L, R, lb, rb, ans;
    while (q--) {
        scanf("%d %d", &x, &y);
        if (x > y) {
            swap(x, y);
        }
        ans = 0;
        L = R = x;
        for (int i = 16; i >= 0; i--) {
            lb = min(l[L][i], l[R][i]);
            rb = max(r[L][i], r[R][i]);
            if (rb < y) {
                L = lb, R = rb;
                ans += 1 << i;
            }
        }
        x = R;
        L = R = y;
        for (int i = 16; i >= 0; i--) {
            lb = min(l[L][i], l[R][i]);
            rb = max(r[L][i], r[R][i]);
            if (lb > x) {
                L = lb, R = rb;
                ans += 1 << i;
            }
        }
        printf("%d\n", ans);
    }
    return 0;
}