信息论基础

引言

所谓的信息，就是以前不知道现在知道的事实，如果某件事以前就知道，当别人再告诉你时，你会忽略，这件事对你的认知没有任何影响，这就不叫信息，反之，如果某件事以前你不知道，有人告诉你了，你现在知道了，那么对你而言，这件事就是信息。

让我们更进一步，看一件事带来的信息量的大小如何来度量。顾名思义，信息量就是度量信息大小的一种量，让我们看一个形象的例子。有人告诉你巴西赢了世界杯，那么这件事对大多数人而言，并不值得关注，它并没有带来多少惊喜，如果是中国赢得了世界杯，那么这件事可能会刷新很多人的世界观，这件事带来的信息量就特别大，我们常说的黑天鹅事件就是概率极低但确实发生了的事件。定性的说，小概率事件带来的信息量大，大概率事件带来的信息量小。下面我们看下以上这句话如何定量的描述。

用概率来度量信息是合理的，这并不是空穴来风，半个多世纪之前，香农提出的信息论便是以概率论为基础。执果索因，我们先来看看香农为什么用事件发生概率的对数来度量信息量。

用概率描述信息量的重要性质：

• 事件发生的概率越低，信息量越大
• 事件发生的概率越高，信息量越少
• 多个事件同时发生的概率是多个事件概率相乘，总信息量是多个事件信息量相加

通过第三点，我们可以知道：
$$x_1和x_2同时发生的概率：P(x_1,x_2)=P(x_1)\cdot P(x_2)$$$$x_1和x_2总信息量：log[P(x_1)P(x_2)]=log[P(x_1)]+log[P(x_2)]$$
通过前两点，我们知道信息量，信息量和概率之间一定是减函数的关系。
由此确定，信息量描述为：
$$I(x)=-logP(x)$$
称$I(x)$为自信息，如果以 2 为底，单位是bit。当使用以 e 为底的对数时，单位将是 nat。对于基底为 10 的对数，单位是 hart。

信息熵

对于离散系统
$$H(X)=-\sum _i{p}_{i}log(p_i)$$
对于连续的系统
$$H(x)=E_{x\sim P}[I(x)]=-E_{x\sim P}[logP(x)]$$
信息熵反应了信息量的多少，信息熵越大表明信息越多，随机事件的信息量与随机变量的确定性有关，不确定性越大包含的信息量就越大，所有可能的事件等概率时不确定性最高。

交叉熵

令不完美的编码用$Q$表示，平均编码长度为
$$H(P,Q)=-E_{P(x)}Q(x)=-\int P(x)logQ(x)dx$$

交叉熵用来衡量编码方案不一定完美时，平均编码的长度。
交叉熵常用作损失函数。原因是真实的样本分布是$P$, 而模型概率分布是$Q$, 只有模型分布于真实样本分布相等时，交叉熵最小。

KL散度

$$D_{KL}(P||Q)=E_{x\sim P}[log\frac{P(x)}{Q(x)}]=\int P(x)logP(x)dx-\int P(x)logQ(x)dx$$
KL散度用来衡量两个概率分布之间的相似程度，其重要性质是非负性，而且，当且仅当两个概率分布处处相等时，KL散度取到零。KL散度与一般的距离不同，它一般不具有对称性。
$$H(P,Q)=D_{KL}(P||Q)+H(P)$$上述关系很容易推导，此处从略，可以看出样本的真实分布$P$保持不变，最优化交叉熵等价于最优化KL散度。KL散度还可用于异常检测。

Reference:
https://www.cnblogs.com/yinheyi/p/6426431.html
https://blog.youkuaiyun.com/dog250/article/details/78944526