小白学习动态规划：0-1背包（经典例题）

前言

背包问题只是动态规划问题下的一个分类，求解0-1背包问题的思路本质上与求解动态规划的一般思路是一致的，我们经常遇到新的题目做不出来，并不是因为没有掌握动态规划的思想，而有可能是因为没有遇到这类具有显著特征的题目，无法将一般动态规划的解题思路应用在实战中。

动态规划的原理：

① 最优子结构性质：问题的最优解可以转化为求子问题的最优解，也就是说问题的最优解可以从子问题的最优解中得出。

② 子问题重叠性质：问题的解由子问题的解组成，所以先构造子问题的解，才能求出最终问题的解。而求问题的解时，由于已经记录子问题的解，所以不必重新求子问题的解，只需取出来使用即可。

经典例题

$$\begin{gathered} 有N件物品和一个容量为V的背包。放入第i件物品耗费的空间是Ci，得到的价值是Wi。 \\ 求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。 \end{gathered}$$

$$例：N=5，V=10$$

物品	A	B	C	D	E
Wealth	3	4	5	6	7
Cost	1	2	5	6	8

这是最基础的0-1背包问题

先看下图，是在求出问题的解后整个动态规划表呈现的结果。下面就来看看这张表是如何一步步填上去并求出最终问题解的。

解题思路

① 确定子问题

求容量为V的背包装入物品的价值总和最大，则考虑第i件物品是否放入背包，使得背包的价值保持最大。

② 确定状态及数组

用一个二维数组F[i][j]表示前i件物品放入容量为j的背包中可以获得的最大价值（注意此处的容量是背包的总容量，而不是背包的剩余容量）

③ 确定边界值

F[0][0…V] = 0：表示不管第0件物品放入任意容量的背包中其最大价值都是0，因为不存在第0件物品。

F[0…N][0] = 0：表示任意物品放入容量为0的背包中其最大价值都是0，因为容量为0的背包装不下任何物品。

④ 确定状态转移方程

Ⅰ：若第i件物品无法放入容量为j的背包中
$$\begin{gathered} 则前i件物品放入容量为j的背包中的最大价值等于前i-1件物品放入容量为j的背包中的最大价值， \\ 即：F[i][j]= \end{gathered}$$