【2019 牛客多校第八场 Just Jump】

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本文深入探讨了一种解决特定路径规划问题的算法，即在有障碍物限制下，计算从起点到终点的所有可能跳远路径数量。算法采用了动态规划、组合数学及优化技巧，详细解释了如何处理限制条件，如禁止落点，并给出了完整的C++实现代码。

1.题目链接。题目大意：某人要从起点1跳到终点L，这中间有1，2，3..L这个L个点。每次跳的距离大于等于d个点。然而有些点比较特殊，这些特殊的点用二元组(ti,pi)给出，意为：在第ti步，不能落在pi这个点。这样的限制有m组，问有多少种方案可以从1安全的跳到L。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
const LL mod = 998244353ll;
const int maxn = 3000 + 5;
const int maxm = 1e7 + 7;

LL qpow(LL a, LL b) 
{
	if (b < 0)return 0;
	LL ans = 1ll;
	while (b) {
		if (b % 2)ans = ans * a % mod;
		b >>= 1;
		a = a * a % mod;
	}return ans;
}
LL fac[maxm];
LL inv_fac[maxm];
void init() 
{
	fac[0] = fac[1] = 1;
	for (int i = 2; i < maxm; i++)fac[i] = fac[i - 1] * i % mod;
	inv_fac[maxm - 1] = qpow(fac[maxm - 1], mod - 2);
	for (LL i = maxm - 2; i >= 1; i--) inv_fac[i] = (inv_fac[i + 1] * (i + 1)) % mod;
	inv_fac[0] = 1;
}

struct node {
	LL t, p;
	bool operator<(const node& a)const {
		return p < a.p;
	}
}Q[maxn];

LL L, d, m;

LL C(int n, int m) {
	if (n<0 || m>n)return 0;
	return fac[n] * inv_fac[m] % mod * inv_fac[n - m] % mod;
}
LL F(LL t, LL p) {
	if (t == 0) {
		if (p == 0)return 1;
		return 0;
	}
	if (t < 0)return 0;
	if (p < d * t)return 0;
	return C(p - d * t + t - 1, p - d * t);
}
LL dp[maxn];
LL f[maxm], pre[maxm];
int main()
{
	init();
	scanf("%lld%lld%lld", &L, &d, &m);
	for (int i = 1; i <= m; i++)
	{
		scanf("%lld%lld", &Q[i].t, &Q[i].p);
	}
	f[0] = 1;
	pre[0] = 1;
	for (int i = 1; i < d; i++)
	{
		f[i] = 0;
		pre[i] = pre[i - 1] + f[i];
	}
	for (int i = d; i <= L; i++)
	{
		f[i] = pre[i - d];
		pre[i] = (pre[i - 1] + f[i]) % mod;
	}
	sort(Q + 1, Q + m+1);
	for (int i = 1; i <= m; i++)
	{
		dp[i] = F(Q[i].t, Q[i].p);
		if (dp[i] == 0)continue;
		for (int j = 1; j <= i - 1; j++)
		{
			if (Q[j].t >= Q[i].t)continue;
			if (Q[i].p - Q[j].p < (Q[i].t - Q[j].t) * d)continue;
			dp[i] = (dp[i] - dp[j] * F(Q[i].t - Q[j].t, Q[i].p - Q[j].p)%mod + mod) % mod;
		}
	}
	LL ans = f[L];
	for (int i = 1; i <= m; i++)
	{
		ans = (ans - dp[i] * f[L - Q[i].p] % mod + mod) % mod;
	}
	cout << ans << endl;

}