数学建模——插值方法和拟合

数学建模——插值方法

数模比赛中，常常需要根据已知的函数点进行数据、模型的处理和分析

插值算法：现有的数据是极少的，不足以支撑分析的进行，需要“模拟产生”一些新的但又比较靠谱的值来满 足需求，这就是插值的作用。（根据现有的数据点，构造函数）

插值法定义

设函数y= f(x)在区间[a,b]上有定义，且已知在点a ≤x0<x1<…<xn≤ b，上的值分别为:y0,y1…,yn,

若存在简单函数P(x),使

P(xi)= yi;    (i=0,1,2……,n)

则称P(x)为f(x)的插值函数，点x0,x1,…,xn称为插值节点，包含插值节点的区间|a,b]称为插值区间，求插值函数P(x)的方法称为插值法。

 

一般插值多项式

设有n+1个互不相同的节点(xi,yi)(i=0,1,2…n)，则存在唯一的多项式:

     使得

【注1】只要n+1个节点互异，满足上述插值条件的多项式是唯一存在的

【注2】如果不限制多项式的次数，插值多项式并不唯一。

拉格朗日插值法

在若干个不同的地方得到相应的观测值， 拉格朗日插值法可以找到一个多项式，其恰好在各个观测的点取到观测到的值。

                  

拉格朗日 插值多项式：

             

 

      

 

 

缺点

高次插值会产生龙格现象，即在两端处波动极大,产生明显的震荡。在不熟悉曲线 运动趋势的前提下，不要轻易使用高次插值

 

高次插值采用方法

 

分段线性插值（提高插值精度）

 分段二次插值

选取跟节点x最近的三个节点xi-1，xi，xi+1 进行二次插值。即在每一个区间[xi-1，xi+1]上，取:

 

 牛顿插值法

 一阶差商：

二阶差商：

k阶差商：

（xk和xk-可以不相邻）

 

埃尔米特(Hermite)插值

 

 

 

 

 

 ☆☆☆☆☆分段三次埃尔米特插值☆☆☆☆☆

建模常用方法

直接使用Hermite插值得到的多项式次数较高，也存在着龙格现象， 因此在实际应用中，往往使用分段三次 Hermite 插值多项式 (PCHIP)

Matlab有内置的函数（实现过程已经帮我们封装好了，会调用就行了）：

1	p = pchip(x,y, new_x)

x是已知的样本点的横坐标;

y是已知的样本点的纵坐标;

new_x是要插入处对应的横坐标

 

 

当给的数据点相当多时，不太适合用插值了，比如

数学建模——拟合

拟 合问题的目标是寻求一个函数（曲线），使得该曲线在某种准则下与所 有的数据点最为接近，即曲线拟合的最好（最小化损失函数）。

确定拟合曲线

设这些样本点为(xi,yi)，i=1,2，…,n，设置的拟合曲线为y =kx ＋b

问题:k和b取何值时，样本点和拟合曲线最接近。

求解：使用最小二乘法

       （数据点离拟合值的距离和越小越好）

求解：

 

评价拟合的好坏：