本文详细介绍了高斯型求积公式，包括高斯-勒让德、高斯-切比雪夫、高斯-拉盖尔和高斯-厄米特积分等，它们在数值积分中的重要作用。这些公式利用正交多项式的零点作为积分点，通过特定的求积系数实现对不同区间和权重函数的精确积分。正交多项式在构造高斯求积公式中起到关键作用，其零点成为高斯点，而求积系数可以通过拉格朗日插值多项式计算得出。
一维区间上的求积公式
区间
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b] 上带权函数
ρ
(
x
)
\rho(x)
ρ(x) 的插值型求积公式的一般形式为
I
(
f
)
=
∫
a
b
ρ
(
x
)
f
(
x
)
d
x
≈
∑
k
=
0
n
A
k
f
(
x
k
)
(1)
I(f) = \int^b_a \rho(x) f(x) dx \approx \sum_{k=0}^nA_k f(x_k) \tag{1}
I(f)=∫abρ(x)f(x)dx≈k=0∑nAkf(xk)(1)
其中
x
k
,
A
k
(
k
=
0
,
1
,
2
,
⋯
,
n
)
x_k, A_k(k=0,1,2,\cdots,n)
xk,Ak(k=0,1,2,⋯,n) 为
2
n
+
2
2n+2
2n+2 个待定参数。
若求积公式 ( 1 ) (1) (1) 对一切不高于 m m m 次的多项式 p ( x ) p(x) p(x) 都精确成立，并且存在一个 m + 1 m+1 m+1 次多项式，使得求积公式不精确成立，则称该求积公式的代数精度为 m m m. 可以证明，通过恰当地选择节点 x k x_k xk 和系数 A k A_k Ak, 最高能使 I ( f ) I(f) I(f) 的代数精度达到 2 n + 1 2n+1 2n+1.
高斯积分
使求积公式 ( 1 ) (1) (1) 达到最高代数精度 2 n + 1 2n+1 2n+1 的求积公式称为高斯型求积公式。节点 x k x_k xk 称为高斯点，系数 A k A_k Ak 称为高斯系数。
高斯-勒让德积分
对于高斯型求积公式，如果权函数
ρ
(
x
)
=
1
\rho(x)=1
ρ(x)=1, 则称相应的求积公式为高斯-勒让德积分公式，即
∫
−
1
1
f
(
x
)
d
x
≈
∑
k
=
0
n
A
k
f
(
x
k
)
.
\int^1_{-1} f(x) dx \approx \sum_{k=0}^nA_k f(x_k).
∫−11f(x)dx≈k=0∑nAkf(xk).
高斯点
x
k
x_k
xk 取为勒让德多项式的零点，高斯系数可以查表得到。
如果积分区间是
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b], 将积分变量
x
∈
[
a
,
b
]
x\in[a,b]
x∈[a,b] 做如下的线性变换
x
=
b
−
a
2
t
+
a
+
b
2
x = \frac{b-a}{2}t + \frac{a+b}{2}
x=2b−at+2a+b
将积分区间从
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b] 转换至
[
−
1
,
1
]
[-1,1]
[−1,1]，于是得到
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
b
−
a
2
∫
−
1
1
f
(
b
−
a
2
t
+
a
+
b
2
)
d
t
.
\int^b_a f(x) dx = \frac{b-a}{2}\int^{1}_{-1} f\left( \frac{b-a}{2}t + \frac{a+b}{2}\right) dt.
∫abf(x)dx=2b−a∫−11f(2b−at+2a+b)dt.
这样就可以用高斯-勒让德求积公式计算一般区间的积分。
高斯-切比雪夫积分
高斯-切比雪夫积分的权函数
ρ
(
x
)
=
1
1
−
x
2
,
x
∈
[
−
1
,
1
]
,
\rho(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, x\in [-1,1],
ρ(x)=1−x21,x∈[−1,1], 那么
∫
−
1
1
f
(
x
)
1
−
x
2
d
x
≈
∑
k
=
0
n
A
k
f
(
x
k
)
,
\int^1_{-1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}}dx \approx \sum_{k=0}^n A_k f(x_k),
∫−111−x2f(x)dx≈k=0∑nAkf(xk),
其中
x
k
(
k
=
0
,
1
,
⋯
,
n
)
x_k (k=0,1,\cdots,n)
xk(k=0,1,⋯,n) 是
n
+
1
n+1
n+1 阶切比雪夫多项式
T
n
+
1
(
x
)
=
cos
[
(
n
+
1
)
arccos
x
]
T_{n+1}(x)=\cos [(n+1)\arccos x]
Tn+1(x)=cos[(n+1)arccosx] 的零点
x
k
=
cos
2
k
+
1
2
n
+
2
π
,
k
=
0
,
1
,
⋯
,
n
x_k = \cos \frac{2k+1}{2n+2}\pi,\quad k=0,1,\cdots,n
xk=cos2n+22k+1π,k=0,1,⋯,n
求积系数是
A
k
=
π
n
+
1
,
k
=
0
,
1
,
⋯
,
n
.
A_k = \frac{\pi}{n+1},\quad k=0,1,\cdots,n.
Ak=n+1π,k=0,1,⋯,n.
高斯-拉盖尔积分
高斯-拉盖尔积分的权函数
ρ
(
x
)
=
e
−
x
,
x
∈
[
0
,
+
∞
)
.
\rho(x)=e^{-x}, x\in[0,+\infty).
ρ(x)=e−x,x∈[0,+∞). 那么
∫
0
∞
e
−
x
f
(
x
)
d
x
≈
∑
k
=
0
n
A
k
f
(
x
k
)
,
\int^\infty_0 e^{-x} f(x) dx \approx \sum_{k=0}^n A_k f(x_k),
∫0∞e−xf(x)dx≈k=0∑nAkf(xk),
积分点和求积系数可以查表得到。根据上式，可以得到
∫
0
∞
f
(
x
)
d
x
=
∫
0
∞
e
−
x
e
x
f
(
x
)
d
x
=
∫
0
∞
e
−
x
F
(
x
)
d
x
≈
∑
k
=
0
n
A
k
F
(
x
k
)
,
\int^\infty_0 f(x) dx = \int^\infty_0 e^{-x} e^{x} f(x) dx = \int^\infty_0 e^{-x} F(x) dx \approx \sum_{k=0}^n A_k F(x_k),
∫0∞f(x)dx=∫0∞e−xexf(x)dx=∫0∞e−xF(x)dx≈k=0∑nAkF(xk),
其中
F
(
x
)
=
e
x
f
(
x
)
F(x) = e^xf(x)
F(x)=exf(x). 对于
[
a
,
+
∞
)
[a,+\infty)
[a,+∞) 区间上的积分
∫
a
∞
e
−
x
f
(
x
)
d
x
\int^\infty_a e^{-x}f(x)dx
∫a∞e−xf(x)dx, 通过变量代换
x
=
a
+
t
x=a+t
x=a+t, 将
x
∈
[
a
,
∞
)
x\in[a,\infty)
x∈[a,∞) 变为
t
∈
[
0
,
∞
)
t\in [0,\infty)
t∈[0,∞), 再利用高斯-拉盖尔求积公式计算积分
∫
a
∞
e
−
x
f
(
x
)
d
x
=
∫
0
∞
e
−
(
a
+
t
)
f
(
a
+
t
)
d
t
=
e
−
a
∫
0
∞
e
−
t
f
(
a
+
t
)
d
t
.
\int^\infty_a e^{-x}f(x) dx = \int^\infty_0 e^{-(a+t)} f(a+t) dt =e^{-a} \int^\infty_0 e^{-t} f(a+t) dt .
∫a∞e−xf(x)dx=∫0∞e−(a+t)f(a+t)dt=e−a∫0∞e−tf(a+t)dt.
高斯-厄米特积分
高斯-厄米特积分的权函数
ρ
(
x
)
=
e
−
x
2
,
x
∈
(
−
∞
,
+
∞
)
.
\rho(x)=e^{-x^2}, x\in(-\infty,+\infty).
ρ(x)=e−x2,x∈(−∞,+∞). 那么
∫
−
∞
∞
e
−
x
2
f
(
x
)
d
x
≈
∑
k
=
0
n
A
k
f
(
x
k
)
,
\int^\infty_{-\infty} e^{-x^2} f(x) dx \approx \sum_{k=0}^n A_k f(x_k),
∫−∞∞e−x2f(x)dx≈k=0∑nAkf(xk),
积分点和求积系数可以查表得到。
附录
正交多项式
正交多项式 P n ( x ) , n = 0 , 1 , 2 , ⋯ , P_n(x), n = 0,1,2,\cdots, Pn(x),n=0,1,2,⋯, 具有如下性质：
- 对每一个 n n n, P n ( x ) P_n(x) Pn(x) 是 n n n 次多项式；
- ∫ a b ρ ( x ) P i ( x ) P j ( x ) d x = 0 , i ≠ j \int^b_a \rho(x) P_i(x) P_j(x) dx = 0, i\neq j ∫abρ(x)Pi(x)Pj(x)dx=0,i=j;
- 对任意一个次数不大于
n
−
1
n-1
n−1 的多项式
P
(
x
)
P(x)
P(x), 有
∫ a b ρ ( x ) P ( x ) P n ( x ) d x = 0 , n ≥ 1 \int^b_a \rho(x) P(x) P_n(x) dx = 0, n\geq 1 ∫abρ(x)P(x)Pn(x)dx=0,n≥1 - P n ( x ) P_n(x) Pn(x) 在 ( a , b ) (a,b) (a,b) 内有 n n n 个互异零点。
利用正交多项式构造高斯求积公式的基本步骤：
- 以 n + 1 n+1 n+1 次正交多项式的零点 x 0 , x 1 , ⋯ , x n x_0,x_1,\cdots,x_n x0,x1,⋯,xn 作为积分点（高斯点）；
- 用高斯点
x
0
,
x
1
,
⋯
,
x
n
x_0,x_1,\cdots,x_n
x0,x1,⋯,xn 对
f
(
x
)
f(x)
f(x) 做拉格朗日插值多项式
f ( x ) ≈ ∑ k = 0 n l k ( x ) f ( x k ) f(x)\approx \sum_{k=0}^n l_k(x) f(x_k) f(x)≈k=0∑nlk(x)f(xk)
代入积分式
∫ a b ρ ( x ) f ( x ) d x ≈ ∫ a b ρ ( x ) [ ∑ k = 0 n l k ( x ) f ( x k ) ] d x = ∑ k = 0 n [ ∫ a b ρ ( x ) l k ( x ) d x ] f ( x k ) . \int^b_a \rho(x) f(x)dx \approx \int^b_a \rho(x)\left[ \sum_{k=0}^n l_k(x) f(x_k)\right] dx\\ = \sum_{k=0}^n \left[ \int^b_a \rho(x) l_k(x) dx \right] f(x_k). ∫abρ(x)f(x)dx≈∫abρ(x)[k=0∑nlk(x)f(xk)]dx=k=0∑n[∫abρ(x)lk(x)dx]f(xk).
因此，求积系数为
A k = ∫ a b ρ ( x ) l k ( x ) d x , k = 0 , 1 , ⋯ , n . A_k = \int^b_a \rho(x) l_k(x) dx,\quad k =0,1, \cdots,n. Ak=∫abρ(x)lk(x)dx,k=0,1,⋯,n.
参考资料
[1] 高斯(Gauss)求积公式
[2] 高斯-勒让德公式-中南大学
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