从航天到原始递归函数的四个定理及其证明——哥德尔读后之十二

从航天到原始递归函数的四个定理及其证明——哥德尔读后之十二

人类对于地球的兴趣，如同数学家观察数学角度的变化一样，从地球之中导向了地球之外。六月中旬的两条新闻，都是有关人类飞越地球的航天消息。六月17日，中国三名航天员从酒泉出发，开始了他们到空间站停留九十天的航天之旅。也是在这一天，又听到美国蓝色起源公司，开启商务空间旅游的新闻。本年度的7月20日，亚马逊总裁协同其弟与机舱执行官，又招标一人，一共四人，将启动人类第一次航天旅游。
空间站航天照片

航天旅游

不识庐山真面目，只缘身在此山中。跨出三界外，不在五行中。也许，这样超越物外体验到的世界，是一个更为精彩的世界。哥德尔创立的元数学，大概也是如此。人类走向星空，心灵俯瞰数符，继续来琢磨哥德尔90年前的那部经典文本吧。
哥德尔原著文本在给出基本概念之后，立刻就给出了4个命题，好家伙，每个命题都与递归recursion有关。这在敦促我去把递归论的东西做些理解，多年前买过莫先生的《递归论》，前段时间又买过郝先生中生代的《递归论》。多是闲翻，这次该认真看看了。莫先生在绪论中特别指出：1923年，斯库伦skolem便明显地宣称，所有初等数论中的数论函数都可以通过原始递归式而定义。这样，原始递归函数便开始展现其重要性。自斯库伦之后，这种重要性很快就体现出来。1931年，当哥德尔证明其有名的不完全性定理之时，原始递归函数果然就起到了极其重要的作用。到此，原始递归函数论便正式出现了。
而当你着手理解哥德尔原著二章中的命题1-4及其证明的时候，真可以说，递归概念贯穿这四个命题。自然可以想见，这个原始递归函数观念还要贯穿哥德尔的全篇论文。
哥德尔的证明与原始递归函数紧密相关，那么，你要理解这开头的四个命题证明何以成立，哪怕是粗浅地做点理解，这个原始递归函数的基本观念，恐怕难以见了红灯绕道走，最好是硬着头皮啃啃那些对递归论有研究的书。
知识无限，而人生有限，自然，关注重点只是那个原始递归函数观念。
递归的一个示意图

一、函数-递归函数-原始递归函数

莫先生关于函数的观念有点新奇且富哲学意味，他先说函数是一些数变成另一些数的运算，然后又接着说，函数不是指运算的过程，而是指运算应该遵循的规则（参见莫绍揆《递归论》第15页）。对函数的这个描述颇为耐人寻味，追随这个函数的观念，我们继续来理解递归论中的那个原始递归函数。先略知一点本原函数，算子和递归。

1、本原函数，算子与递归

首先需要知道，这里当然只是仅想知道一点，却并不究其源的“本原函数”。莫先生在递归论中给出25个本原函数，这里仅以列本原函数01位，03位，05位，14位，15位为例，可大致窥见本原函数观念的含义。
01.幺函数I：函数值与自变元的值相同，即Ix=x。
03.零函数0：函数值永为零