机器学习(周志华) 参考答案 第一章 绪论 1.2

题目：与使用单个合取式来进行假设表示相比，使用“析合范式”将使得假设空间具有更强的表示能力。若使用最多包含k个合取式的析合范式来表达1.1的西瓜分类问题的假设空间，试估算有多少种可能的假设。

      表1.1包含4个样例，3种属性，假设空间中有3∗4∗4+1=493∗4∗4+1=49种假设。最多包含k个合取式来表达假设空间，显然k的最大值是49。

不考虑空集的话，剩下48种可能：

    全部不泛化 2∗3∗3=182∗3∗3=18种假设

    一个属性泛化：2∗3+3∗3+2∗3=212∗3+3∗3+2∗3=21种假设

    两个属性泛化：2+3+3=82+3+3=8种假设

    三属性泛化：1种假设

 

用这48种假设的排列组合来组成析合范式，展开序列为（也就是杨辉三角的一排）：

1, 48, 1128, 17296,...... 17296, 1128, 48, 1 共49个数，  左边的1代表‘空’，一个都不选，右边的1代表全部选。

如果k=48，就是说最多采用48种合取式来组成析合范式，排除一种都不选的情况，就是2^48 - 1种。（2^48是根据二项式定理得的）

如果0<k<48，那就把展开序列的前k+1（因为展开序列从0开始数）项全部加起来再减1 

如果指定了k的个数，那就是展开序列的第k+1（因为展开序列从0开始数）项的数

但是，这个结果得去重才行，因为泛化是对若干种假设的包含（包容），它本身不是某种假设。把泛化的 * 展开后，

就是若干种具体的假设。如果此题采取48，那么把 * 展开后，假设集合中一定有重复，而且一种具体假设还不止重复一次。

此题应该采用18种具体假设来计算， 就是： 2^18 - 1 

 

以下python代码没有考虑全部为空的情况（-1），且没有考虑去重。

# -*- coding: utf-8 -*-

def strige(max):#杨辉三角
    S = [1]
    while max: 
        N = S[:]
        N.append(0)
        S = [N[i-1]+N[i] for i in range(len(N))]
        max -= 1
    return S 

def cal_Permutations(total_num =0,select_num= 0,most_num = 0):
    re_total_num = 0
    re_select_num = 0
    re_most_num = 0
    if total_num == 0:
        raise ValueError,'pls indicate total numbers'
        return

    if select_num>total_num or most_num>total_num:
        raise ValueError,'select_num or most_num can not bigger than total_num'
        return

    s = strige(total_num)

    for x in s:
        re_total_num += x

    re_select_num = s[select_num]

    for y in range(0,most_num+1):
        re_most_num += s[y]

    return {'input_parameter':{'total_num':total_num,'most_num':most_num,'select_num':select_num},'output_permutations':s,'output_usual_count':{'total_num':re_total_num,'most_num':re_most_num,'select_num':re_select_num}}

result = cal_Permutations(48,40,48)
print (result)