空间速度和物体速度的区别

空间速度（Spatial Velocity）和物体速度（Body Velocity）是刚体运动中描述速度的两种常用方式。两者的主要区别在于速度的参考系和表示方法。以下是它们的详细解释：

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1. 空间速度（Spatial Velocity）

定义： 空间速度描述的是刚体在固定世界坐标系中的速度。

• 线速度： 是刚体中某一点在世界坐标系下的运动速度。
• 角速度： 是刚体在世界坐标系中绕固定轴旋转的速率。

特点：

• 速度矢量的方向和大小由世界坐标系定义。
• 速度表示为 $[v_s,{\omega }_s]$，其中 $v_s$ 是线速度，${\omega }_s$ 是角速度，均在世界坐标系下表示。

应用场景：
空间速度更适用于描述刚体相对于全局参考系的动态状态，比如机器人运动学中的导航问题。

公式：
空间速度通常可以通过刚体的变换矩阵 $T$ 及其时间导数来计算：
$${\hat{V}}_s=\dot{T}{T}^{-1}$$
其中，${\hat{V}}_s$ 是空间速度的李代数表示。

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2. 物体速度（Body Velocity）

定义： 物体速度描述的是刚体在其自身坐标系（通常是瞬时附着在刚体上的局部坐标系）中的速度。

• 线速度： 是刚体中某一点在自身参考系下的运动速度。
• 角速度： 是刚体相对于自身参考系绕某轴的旋转速率。

特点：

• 速度矢量的方向和大小由刚体坐标系定义。
• 速度表示为 $[v_b,{\omega }_b]$，其中 $v_b$ 是线速度，${\omega }_b$ 是角速度，均在刚体坐标系下表示。

应用场景：
物体速度更适合用于描述局部参考系中的运动，常见于机器人控制、局部路径规划等场景。

公式：
物体速度通常可以通过刚体的变换矩阵 $T$ 及其时间导数计算为：
$${\hat{V}}_b=T^{-1}\dot{T}$$
其中，${\hat{V}}_b$ 是物体速度的李代数表示。

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3. 区别总结

属性	空间速度	物体速度
参考系	世界坐标系	刚体自身坐标系
线速度方向	相对于全局	相对于局部
角速度方向	相对于全局	相对于局部
用途	全局描述，导航与定位	局部描述，控制与规划
计算公式	$\dot{T}{T}^{-1}$	$T^{-1}\dot{T}$

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4. 它们的联系

空间速度和物体速度是等价的，但在不同参考系中表达。两者可以通过伴随矩阵（Adjoint Matrix）转换：

$$V_s={\text{Ad}}_T{V}_b$$
$$V_b={\text{Ad}}_{T^{-1}}{V}_s$$

其中，${\text{Ad}}_T$ 是刚体变换矩阵 $T$ 的伴随表示，用于在两个参考系之间切换速度表达。

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5. 直观理解

• 空间速度： 想象一个刚体在房间中移动，空间速度就是观察者站在房间内看到的速度。
• 物体速度： 刚体上的人（随刚体运动）感知的速度，即相对于自己的运动状态。

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