核函数笔记

理解核函数之前先了解下内积的几何意义

内积：

向量的点乘,也叫向量的内积、数量积，对两个向量执行点乘运算，就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作，点乘的结果是一个标量。

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点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角，以及在b向量在a向量方向上的投影，

根据这个公式就可以计算向量a和向量b之间的夹角。从而就可以进一步判断这两个向量是否是同一方向，是否正交(也就是垂直)等方向关系，具体对应关系为：

 a·b>0    方向基本相同，夹角在0°到90°之间
 a·b=0    正交，相互垂直  
 a·b<0    方向基本相反，夹角在90°到180°之间 

这里基本可以理解为内积就是求向量的相似度，

顺便了解下外积：

在三维几何中，向量a和向量b的叉乘结果是一个向量，更为熟知的叫法是法向量，该向量垂直于a和b向量构成的平面。

在3D图像学中，叉乘的概念非常有用，可以通过两个向量的叉乘，生成第三个垂直于a，b的法向量，从而构建X、Y、Z坐标系。如下图所示：

在二维空间中，叉乘还有另外一个几何意义就是：aXb等于由向量a和向量b构成的平行四边形的面积。

好了，了解了内积，下面看看核函数

y空间里两向量的内积，在x空间里却是一个关于的函数，这个k函数就称为核函数。

在机器学习中常用的核函数，一般有这么几类，也就是LibSVM中自带的这几类：

1. 线性：K(v_1,v_2)=<v_1,v_2>
2. 多项式：K(v_1,v_2)=(\gamma<v_1,v_2>+c)^n
3. Radial basis function：K(v_1,v_2)=\exp(-\gamma||v_1-v_2||^2)
4. Sigmoid：K(v_1,v_2)=\tanh(\gamma<v_1,v_2>+c)

使用一个简单的升维的方法，把原来一维的空间投射到二维中，x->(x, x^2)。
0->(0,0)
1->(1,1)
2->(2,4)

（这里平方的意义相当于升维，因为“平方”的概念对应着“取导”的概念。“取导”的意义大概是“描述变化趋势”。取导是把二次幂变为一次。与之对应的，二次幂也就变得比较重要了。同理，三次幂也很重要，因为三次幂降到一次幂的时候就成了“取导的取导”，也就是“变化趋势的变化趋势”。因此三次幂也有了自己的特有称谓：立方。所谓一维变二维,线条变面积,函数变积分,趋势变集合,熵变结果）

来看看映射到二维后的结果，直接线性就内分类：

举例2 多项式核函数中\gamma=1, c=0, n=2的情况。

下面这张图位于第一、二象限内。我们关注红色的门，以及“北京四合院”这几个字下面的紫色的字母。我们把红色的门上的点看成是“+”数据，紫色字母上的点看成是“-”数据，它们的横、纵坐标是两个特征。显然，在这个二维空间内，“+”“-”两类数据不是线性可分的。

我们现在考虑核函数K(v_1,v_2) = <v_1,v_2>^2，即“内积平方”。
这里面v_1=(x_1,y_1), v_2=(x_2,y_2)是二维空间中的两个点。

这个核函数对应着一个二维空间到三维空间的映射，它的表达式是：
P(x,y)=(x^{2,\sqrt{2}xy,y}2)
可以验证，
\begin{align} <P(v_1),P(v_2)> &= , <(x_1^{2,\sqrt{2}x_1y_1,y_1}2),(x_2^{2,\sqrt{2}x_2y_2,y_2}2)> \ &= , x_1^2x_22 + 2x_1x_2y_1y_2+y_1^2y_22 \ &= , (x_1x_2 + y_1y_2)^2 \ &= , , <v_1,v_2>^2 \ &= , K(v_1,v_2) \end{align}

在P这个映射下，原来二维空间中的图在三维空间中的像是这个样子：

（前后轴为x轴，左右轴为y轴，上下轴为z轴）

注意到绿色的平面可以完美地分割红色和紫色，也就是说，两类数据在三维空间中变成线性可分的了。
再映射到二维：

就是非线性的了

参考：
作者：枕水
链接：https://www.zhihu.com/question/24901405/answer/29396245
来源：知乎

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原文链接：https://blog.youkuaiyun.com/dcrmg/article/details/52416832