本文探讨了不可压缩流体运动中的N-S方程简化过程，涉及动量、能量方程及其边界条件，如固体边界无穿透、无滑移及自由表面的动力学条件。还介绍了无量纲数在理论分析中的作用，以及精确解的寻找方法，重点讲解了层流和定常流动案例。
第三章 不可压粘性流体运动
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第三章 不可压粘性流体运动
上一章中给出了流体力学的控制方程，可以看到方程组是非常复杂的，因此在实际应用中我们往往进行一些简化，不可压缩是其中最常用的一种方法，通过不可压缩的条件，可以得到最经典的N-S方程的形式。
3.1 控制方程
不可压缩，连续方程变为：
∇ ⋅ v ⃗ = 0 \nabla \cdot { {\vec v}} = 0 ∇⋅v=0
动量方程转变为：
∂ v ⃗ ∂ t + ( v ⃗ ⋅ ∇ ) v ⃗ = f ⃗ − 1 ρ ∇ p + μ ρ Δ v ⃗ \frac{ {\partial \vec v}}{ {\partial t}} + (\vec v \cdot \nabla )\vec v = \vec f - \frac{1}{\rho }\nabla p + \frac{\mu }{\rho }\Delta \vec v ∂t∂v+(v⋅∇)v=f−ρ1∇p+ρμΔv
左端第一项是非定常加速度，第二项是对流加速度，右端第一项是体积力，第二项是压强梯度，第三项是粘性项。
此时能量方程结合傅里叶定律，不可压，均匀流，方程可以转变为
1 2 ρ ∂ ∂ t ∫ V v 2 d V = ρ ∫ V v i ∂ v i ∂ t d V \frac{1}{2} \rho \frac{\partial}{\partial t} \int_{V} v^{2} d V=\rho \int_{V} v_{i} \frac{\partial v_{i}}{\partial t} d V 21ρ∂t∂∫Vv2dV=ρ∫Vvi∂t∂vidV
状态方程
f ( p , ρ ; T ) = 0 f(p,\rho ;T) = 0 f(p,ρ;T)=0
3.2 确定N-S方程解的条件
微分方程得到唯一定解还需要结合边界条件和初始条件，因此本节主要给出常见的几种边界条件。
- 固体边界
固体边界要满足不穿透、无滑移的条件
无 穿 透 v ⃗ ⋅ n ⃗ = U ⃗ ⋅ n ⃗ 无穿透\vec v \cdot \vec n = \vec U \cdot \vec n 无穿透v⋅n=U⋅n
无 滑 移 v ⃗ f = U ⃗ s T f = T s 无滑移\begin{array}{l}{ {\vec v}_f} = { {\vec U}_s}\\{T_f} = {T_s}\end{array} 无滑移vf=U
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