GAMES-101-个人总结归纳-Transformation_eigen::matrix4f求逆-优快云博客

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(注：此文以个人知识框架为基础拓开，为方便后期回顾，在保留原课程内容框架的基础上，个别概念的介绍可能过于简单，感兴趣读者可到 GAMES 平台深入学习)

2D Transform(rotation, scale, shear)

Homogeneous coordinates(齐次坐标)

Composite transform（变换组合）

Viewing transformation

2D Transform(rotation, scale, shear)

Scale（缩放变换）：
Reflection Matrix(反射变换)：
Shear Matrix（切变）：

Rotation Matrix（旋转）：

注：T*A ＝ A' => (T(-1))*A' = A 对矩阵A作变换T，得到A'；对应的还原为：对A'作矩阵的逆。

Homogeneous coordinates(齐次坐标)

引入：解决图像平移问题
仿射变换：
- 仿射＝线性 + 平移
- 将二维平面需要组合的平移操作，用一个3阶矩阵表示（问题：引入额外维度增加存储开销；已知仿射变换，尾阶默认(0,0,1),即可忽略）：

Composite transform（变换组合）

矩阵乘法：右乘，满足结合律，分配律，不满足交换律。
顺序：1.先线性；2.再平移；

3D transformations

正交矩阵

R(T) = R(-1);矩阵的转置等价于矩阵的逆；

3D Rotations

xyz轴对应的旋转矩阵：

注：关于Y轴不一样的解释：二维矩阵 {cos,-sin,sin,cos} {cos,sin,-sin,cos}互逆。(右手坐标系，右手螺旋定则（旋转角度不超过180°），cross 表示叉积);

1.默认逆时针为正方向,看向对应轴负方向；

2. x.cros(y) =z，旋转角x->y,90°；

y.cross(z) = x，旋转角y->z,90°；

x.cross(z) = y, 旋转角x->z,270°；>180°；所以正确的写法应该是 z.cross(x) = y；

z->x,alpha°<=>x->z,-alpha°,所以变换矩阵就成了 {cos(-a),-sin(-a),sin(-a),cos(-a)},也就是{cos(a),sin(a),-sin(a),cos(a)};

欧拉角

yaw,roll, pitch(鸭肉-佩奇~~)

Rodrigues’ Rotation Formula(罗德里格旋转公式)：欧拉角到矩阵的转换

注：n:过远点的旋转轴；

Viewing transformation

View / Camera transformation

M(view) = T(view) * R(view);

T(view) 为相机坐标，直接通过齐次坐标写出：

R(view) 为相机的视角变换，结果已知，可以通过先求逆变换，再对其做转置算出：

Projection transformation

Orthographic projection（正交投影）

成像空间为长宽高均为1的 cube，坐标原点与 cube 中心重合；远近一致，先平移到原点，再做缩放：

注：l(left),r(right),t(top),b(bottom),n(near),f(far);

Perspective projection（透视投影）

推到过程略，直接给出结论：
n(z轴近平面)，f(z轴远平面)

作业1：

作业1连接

题目简单介绍：

模拟一个基于CPU 的光栅化渲染器的简化版本，对于给定点的三角形，进行模型、视图、投影、视口等变换来将三角形显示在屏幕上（具体参考连接内pdf 说明文档）。

核心代码：

1.绕z轴旋转：

/// <summary>
/// 绕z轴旋转
/// </summary>
/// <param name="rotation_angle">旋转角度</param>
/// <returns></returns>
Eigen::Matrix4f get_model_matrix(float rotation_angle)
{
    // TODO: Implement this function
    // Create the model matrix for rotating the triangle around the Z axis.
    // Then return it.

    float angle = rotation_angle;
    Eigen::Matrix4f rotation;
    angle = angle * MY_PI / 180.f;

    rotation << cos(angle), -sin(angle), 0, 0,
        sin(angle), cos(angle), 0, 0,
        0, 0, 1, 0,
        0, 0, 0, 1;

    return rotation;
}

2.透视投影变换：

/// <summary>
/// 对三角形做透视投影变换，因右手坐标系，zFar<zNear
/// </summary>
/// <param name="eye_fov">垂直的可视角度</param>
/// <param name="aspect_ratio">显示宽高比</param>
/// <param name="zNear">z轴近平面坐标</param>
/// <param name="zFar">z轴远平面坐标</param>
/// <returns></returns>
Eigen::Matrix4f get_projection_matrix(float eye_fov, float aspect_ratio,
                                      float zNear, float zFar)
{
    // Students will implement this function

    Eigen::Matrix4f projection = Eigen::Matrix4f::Identity();

    // TODO: Implement this function
    // Create the projection matrix for the given parameters.
    // Then return it.

    float angle = eye_fov * MY_PI / 180.f;
    float top = -zNear * tan(angle / 2);//此处为负！！！！
    float bottom = -top;
    float right = top * aspect_ratio;
    float left = -right;

    Eigen::Matrix4f M_pers,M_origin,M_scaling;

    // 1.perspective transform
    M_pers << zNear, 0, 0, 0,
        0, zNear, 0, 0,
        0, 0, zNear + zFar, -zNear * zFar,
        0, 0, 1, 0;

    // orthographic projection
    // 2.move the centre point to (0,0,0)
    M_origin << 1, 0, 0, -(right + left) / 2,
        0, 1, 0, -(top + bottom) / 2,
        0, 0, 1, -(zFar + zNear) / 2,
        0, 0, 0, 1;

    // 3.scaling to unit space
    M_scaling << 2 / (right - left), 0, 0, 0,
        0, 2 / (top - bottom), 0, 0,
        0, 0, 2 / (zNear - zFar), 0,
        0, 0, 0, 1;
    
    projection = M_scaling * M_origin * M_pers;
    return projection;
}

3.绕过原点的任意轴旋转：

Eigen::Matrix4f get_rotation(Vector3f axis, float angle) {
    Eigen::Matrix4f M_axis;
    float nx = axis.x();
    float ny = axis.y();
    float nz = axis.z();

    angle = angle * MY_PI / 180.f;
    // 公式及推到参考：https://zhuanlan.zhihu.com/p/56587491
    M_axis << nx * nx * (1 - cos(angle)) + cos(angle), nx* ny* (1 - cos(angle)) + nz * sin(angle), nx* nz* (1 - cos(angle)) - ny * sin(angle), 0,
        nx* ny* (1 - cos(angle)) - nz * sin(angle), ny* ny* (1 - cos(angle)) + cos(angle), ny* nz* (1 - cos(angle)) + nx * sin(angle), 0,
        nx* nz* (1 - cos(angle)) + ny * sin(angle), ny* nz* (1 - cos(angle)) - nx * sin(angle), nz* nz* (1 - cos(angle)) + cos(angle),0,
        0, 0, 0, 1;
    Eigen::Matrix4f M_axis0 = M_axis.inverse();//求逆，本课程为右手坐标系，公式为左手坐标系，直接套用公式旋转会反向。
    return M_axis0;
}