第1周笔记4-汉诺塔递归分治问题

最新推荐文章于 2024-12-28 23:18:20 发布

yunxiaoMr

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本文详细解析了汉诺塔问题及其背后的分治法思想，通过递归算法实现问题的分解与解决，展示了如何将复杂问题转化为简单子问题并最终求解。

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汉诺塔问题

描述：有三根杆(编号A、B、C)，在A杆自下而上、由大到小按顺序放置n个金盘。

目标：把A杆上的金盘全部移到C杆上，并仍保持原有顺序叠好。

操作规则：每次只能移动一个盘子，并且在移动过程中三根杆上都始终保持大盘在下，小盘在上，操作过程中盘子可以置于A、B、C任一杆上。

思路分析

初始状态是需要将A处的n层全部移到C处，B可借助。此时，我们可以把n-1层以上的盘子当作一个整体，借助B处我们可以将A的n-1层以上移到B处，然后才可以把n层移到C处。此时的状态就变成了需要将B处的n-1层移到C处，A可借助。以此类推，下一个状态可变为将A处的n-2层移动到C处，B可借助 ,................,最后一个状态变为将A/B处的1层移动到C处，B/A可借助。

也就是如下的思路步骤：

以C盘为中介，从A杆将1至n-1号盘移至B杆；
将A杆中剩下的第n号盘移至C杆；
以A杆为中介；从B杆将1至n-1号盘移至C杆。

#include<iostream>
using namespace std;

int Hanoi(int n,char A,char B,char C){
	if(n==1){
		cout<<A<<"--->"<<C<<endl; 
		return 1;
	}
	int count1 = Hanoi(n-1,A,C,B);//将n-1个盘从A--->B 
	cout<<A<<"--->"<<C<<endl;
	int count2 = Hanoi(n-1,B,A,C);//将n-1个盘从B--->C 
	return count1+count2+1;    //将最下层移到C需要+1 
}

int main(){
	int n;
	cout<<"输入A处盘的数目:";
	cin>>n;
	cout<<"一共需要移动次数:"<<Hanoi(n,'A','B','C');
	return 0;
}

这样下来我们就将一个复杂的大型问题不断分化为一个越来越小的问题直到可以方便地解决，然后在回溯回去，达到解决大型问题的目的。这种思想就是分治的思想。

　　正像分封土地一样，分治法的目的就是为了把无法解决的大问题分解成若干个能够解决小问题。通常来说，分治法可以归纳为三个步骤：

　　1. 分解，将原问题分解成若干个与原问题结构相同但规模较小的子问题；

　　2. 解决，解决这些子问题。如果子问题规模足够小，直接求解，否则递归地求解每个子问题；

　　3. 合并，将这些子问题的解合并起来，形成原问题的解。

下面我们谈谈分治与递归！

分治与递归区别

分治是把一个问题分解成无数个重复移动的动作的思维方法，而递归则是进行一个重复的循环while语句控制好边界直到解决问题。其实对于这个区别，界限也并非如此清晰，你可以想象，如果我让一万个1相加。采用循环，直接循环加一万次；采用递归，递归循环一万次；采用分治，不停的划分（这里划分既可以使用递归也可以使用循环），两两相加。