宁夏f题

宁夏区域赛f题

不会插入公式!!

求 sum(a=2->n)sum(b=a->n)a*log a(b)，结果对998244353取模

n的范围：n<=1e12

loga (b)向下取整。

解析：

n的范围非常大，但如果a>sqrt(n)，呢么loga(b)只为1.

所以我们预处理sqrt(n)产生的影响

对于(sqrt(n)+1,n),我们另外直接计算

for(int i=sqrt(n)+1;i<=n;i++)
    ans+=i*(n-i+1);

n非常大，显然不能直接算

对于ai=i*i这个数列，有个公式求和，si=(i+1)*(2*i+1)*(i)/6;

对于ai=i*i,列处1-10项,然后连续作差，最后为0,得出结论为一个1元3次式,解除si=1/3*i^3+1/2*i*i+1/6*i;

然后用逆元直接算就可以了

ac：

#include<bits/stdc++.h>
#define mod 998244353
#define ll long long
using namespace std;
ll ans=0;

ll finv(ll a,ll b)
{
    ll res=1;
    b=b-2;
    while(b)
    {
        if(b&1)
            res=res*a%mod;
        a=a*a%mod;
        b>>=1;
    }
    return res;
}

void init(ll n)
{
    ll tt=1;
    for(ll i=2;i*i<=n;i++)
    {
        ll st=i,gg=i,sum=0,kk=i;
        while(gg<=n)
        {
            gg=st*i;
            if(gg>n){
                sum=(sum+((n%mod-st+1+mod)%mod*kk)%mod)%mod;
                break;
            }
            sum=(sum+((gg%mod-st+mod)%mod*kk)%mod)%mod;
            st=gg;
            kk+=i;
        }
        ans=(ans+sum)%mod;
        tt=i;
    }
    //ll cc=(n-tt)*(tt+1+n)*(n+1)*finv(2,mod);
    //ll aa=n*(n+1)*(2*n+1)*finv(6,mod);
    //ll bb=tt*(tt+1)*(2*tt+1)*finv(6,mod);
    //ans=ans-(aa-bb);
    //ans=ans+cc;
    ll cc=(n-tt)%mod+mod; cc=cc%mod;
    cc=cc*((tt+1+n)%mod); cc=cc%mod;
    cc=cc*((n+1)%mod);  cc=cc%mod;
    cc=cc*finv(2,mod);  cc=cc%mod;

    ll aa=n%mod;
    aa=aa*((n+1)%mod); aa=aa%mod;
    aa=aa*((2*n+1)%mod); aa=aa%mod;
    aa=aa*finv(6,mod); aa=aa%mod;

    ll bb=tt%mod;
    bb=bb*((tt+1)%mod); bb=bb%mod;
    bb=bb*((2*tt+1)%mod); bb=bb%mod;
    bb=bb*finv(6,mod); bb=bb%mod;

    ans=(ans-(aa-bb+mod)%mod+mod)%mod;
    ans=(ans+cc)%mod;
}

int main()
{
    ll n;
    ans=0;
    cin>>n;
    init(n);
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}
/*
1000000000000
*/