动态规划——最长上升子序列问题

问题描述：

一个数的序列bi，当b1 < b2 < ... < bS的时候，我们称这个序列是上升的。对于给定的一个序列(a1, a2, ..., aN)，我们可以得到一些上升的子序列(ai1, ai2, ..., aiK)，这里1 <= i1 < i2 < ... < iK <= N。
比如，对于序列(1, 7, 3, 5, 9, 4, 8)，有它的一些上升子序列，如(1, 7), (3, 4, 8)等等。这些子序列中最长的长度是4，比如子序列(1, 3, 5, 8).
你的任务，就是对于给定的序列，求出最长上升子序列的长度。
输入
输入的第一行是序列的长度N (1 <= N <= 1000)。第二行给出序列中的N个整数，这些整数的取值范围都在0到10000。
输出
最长上升子序列的长度。
样例输入
7
1 7 3 5 9 4 8
样例输出
4

思路：

找子问题：求以a[k]（0,1,2...N-1）作为终点的最长子序列的长度,在这N个子问题中最大的解就是整个问题的解。

状态转移方程：

初始状态：MaxSeq(0)=1;

 MaxSeq(k)=max { MaxSeq(i):&&a[i]<a[k] } +1;若找不到这样的i使a[i]<a[k],则MaxSeq(k)=1.

代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAX 1000
int main(){
    int a[MAX];
    int N;
    cin>>N;
    for (int i = 0; i < N; i++)
    {
        cin>>a[i];
    }
    // MaxSeq(k):以a[k]作为结束的最长上升子序列的长度
    int MaxSeq[MAX];
    MaxSeq[0]=1;//初始状态
    for (int k = 1; k < N; k++)
    {
        MaxSeq[k]=1;//默认a[0]~a[k-1]中找不到a[i]<a[k]
        for (int i = 0; i <k; i++)
        {
            if (a[i]<a[k]&&i<k)
            {
                MaxSeq[k]=max(MaxSeq[i]+1,MaxSeq[k]);
            }
        }
        // cout<<MaxSeq[k]<<endl;
    }
    sort(MaxSeq,MaxSeq+N);
    cout<<MaxSeq[N-1]<<endl;
    system("pause");
    return 0;
}