胞腔同调习题

证：
因为 $f$ 是可逆线性变换，所以可以用 $n$ 阶可逆矩阵 $A,A\in GL(n,\mathbb{R})$ 表示，又因为其行列式为正，所以由线性代数知道，存在可逆矩阵 $P,Q$，使得 $A$ 通过 $PAQ$ 连续的变为 $I$，也就是 $f\simeq 1$，由 Hatcher 中定理 2.10 知诱导的同调群之间的同态相等：$f_{\ast }=1_{\ast }$，即 f ∗ : H n ( R n , R n − { 0 } ) → H n ( R n , R n − { 0 } ) f_*:H_n(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^n-\{0\})\rightarrow H_n(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^n-\{0\}) f∗​:Hn​(Rn,Rn−{0})→Hn​(Rn,Rn−{0}) 是恒等映射。

证：
由代数基本定理知 $f(z)$ 在 $\mathbb{C}$ 中有其次数个零点（包含重根），对于单重零点 $z$，可以构造 $z$ 的邻域 $U$，使得 f ∗ : H 2 ( U , U − { z } ) → H 2 ( V , V − { 0 } ) f_*:H_2(U,U-\{z\})\rightarrow H_2(V,V-\{0\}) f∗​:H2​(U,U−{z})→H2​(V,V−{0})，其局部映射度为 $1$，对于 $k$ 重根 $z_0$，同样考虑诱导映射 f ∗ : H 2 ( U , U − { z 0 } ) → H 2 ( V , V − { 0 } ) f_*:H_2(U,U-\{z_0\})\rightarrow H_2(V,V-\{0\}) f∗​:H2​(U,U−{z0​})→H2​(V,V−{0})，因为 $z_0$ 是 $k$ 重根，所以 H 2 ( U , U − { z 0 } ) H_2(U,U-\{z_0\}) H2​(U,U−{z0​}) 中的生成元被映为 $k$ 倍的 H 2 ( V , V − { 0 } ) H_2(V,V-\{0\}) H2​(V,V−{0}) 中的生成元，因此局部映射度为 $\text{deg }\hat{f}{|}_{z_0}=k$.
因为 $\text{deg }(\hat{f})=\sum (f_{\ast }{|}_{z_i})$ 即为多项式 $f$ 的次数。

证：
(a) 因为将 $S^2$ 两个点粘合所得空间同伦等价于在 $S^2$ 上粘合一个一维胞腔，记作 $X$, 所以其胞腔复形结构为一个 $e^2$，一个 $e^1$，一个 $e^0$，所以有：
$$H_n(S^2/A)=H_n(X^2,X^1)\cong \{\begin{array}{ll}\mathbb{Z}& n=2,\\ 0& \text{其他.}\end{array}$$

(b) 类似 $S^1\times S^1$ 写出其胞腔复形结构：
$(e^0\cup e^2)\times (2e^0\cup e^2)=2e^0\cup 3e^2\cup e^4$，因为缺少 $1$ 维，$3$ 维胞腔，所以其同调群为：
$$H_n(S^1\times (S^1\vee S^1))\cong \{\begin{array}{ll}{\mathbb{Z}}^2& n=0,\\ {\mathbb{Z}}^3& n=2,\\ \mathbb{Z}& n=4,\\ 0& \text{其他.}\end{array}$$

证：
(a) 考虑长正合列：
$$\cdots \to H_2(S^1\vee S^1)\to H_2(S^1\times S^1)\to H_2(S^2)\to H_1(S^1\vee S^1)\to H_1(S^1\times S^1)\to \dots ,$$
$H_2(S^1\vee S^1)=0$，所以 $f_{\ast }$ 是单射，要想 $f_{\ast }$ 是同构，则 $H_1(S^1\vee S^1)=0$，但计算知 $H_1(S^1\vee S^1)={\mathbb{Z}}^2$，矛盾，所以 $f_{\ast }$ 不是同构。

(b) 考虑覆叠映射 $p:{\mathbb{R}}^2\to S^1\times S^1$，因为 $S^2$ 单连通，${\mathbb{R}}^2$ 可缩，所以有 $g_{\ast }({\pi }_1(S^2,x_0))=p_{\ast }({\pi }_1({\mathbb{R}}^2,x_1)),g(x_0)=p(x_1)$，所以有提升 $\tilde{g}:S^2\to {\mathbb{R}}^2$，因为 ${\mathbb{R}}^2$ 可缩，所以 $\tilde{g}$ 零伦，从而 $g$ 零伦。