覆叠空间习题

证:
第一部分：先证明若$p_i:\widetilde{X_i}\to X_i,i=1,2$ 都是覆叠映射，且叶数分别为$n_1,n_2$，那么$p_1\times p_2:\widetilde{X_1}\times \widetilde{X_2}\to X_1\times X_2$ 也是一个复叠映射，且叶数为$n_1\cdot n_2$.

因为对于任意$X_i$ 中的基本邻域$U_i$，$p_i$是同胚，$p_1\times p_2$仍然是双射，$(p_1\times p_2{)}^{-1}（U_1\times U_2)=p_1^{-1}(U_1)\times p_2^{-1}(U_2)$仍然是开集，所以对$X_1\times X_2$中的任意开集$(p_1\times p_2{)}^{-1}({\cup }_j(U_1^j\times U_2^j))={\cup }_j(p_1^{-1}(U_1^j)\times p_2^{-1}(U_2^j$