完全背包(动态规划)

问题描述

有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无限件可用。第i种物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

问题解决过程

根据第i个物品放多少来决定，就可以推出一个状态方程：

F[i][j] = Max{F[i-1][j-kC[i]+kW[i]}, 0<=k*C[i]<=j

其中其中Max里边的表达式 表示前i-1种物品中选取若干件物品放入剩余空间为j-K*C[i]的背包中所能得到的最大价值加上k件第i种物品；

使用这样的方法，虽然能解决问题但是在oj上提交的话都会超时，所以在上一个状态方程上进行优化：

因为同种物品可以多次选取，那么第i种物品最多可以选取V/C[i]件价值不变的物品，然后就转化为01背包问题。如果把第i种物品拆成体积为C[i]×2k价值W[i]×2k的物品，其中满足C[i]×2k≤V。即设F[i][j]表示出在前i种物品中选取若干件物品放入容量为j的背包所得的最大价值。那么对于第i种物品的出现，我们对第i种物品放不放入背包进行决策。如果不放那么F[i][j]=F[i-1][j]；如果确定放，背包中应该出现至少一件第i种物品，所以F[i][j]种至少应该出现一件第i种物品,即F[i][j]=F[i][j-C[i]]+W[i]。
采用这种方法就可以优化上一种解法的时间，在中间加上判断，如果不放第i种物品Max{}里的表达式就可以改成F[i-1][j] , 当存放第i种物品时，再使用状态方程。

代码

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int w[300],c[300],f[300010];
int V,n;
int main()
{
    scanf("%d%d",&V,&n);
    for(int i=1; i<=n; i++)
    {
        scanf("%d%d",&w[i],&c[i]);
    }
    for(int i=1; i<=n; i++)
        for(int j=w[i]; j<=V; j++)
            f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+c[i]);
    printf("max=%d\n",f[V]);
    return 0;
}