二分法 binary search

首先二分法一定是针对数组类型的，因为链表每个值无法通过索引立刻定位到，自然也就没法折半

其次，二分法必须是针对排序数组的，在给定区间内，不断折半寻找边界/确定值

搜索区间可以左闭右开，也可以左开右闭，最后返回的值，需要具体问题具体分析（问题的本质基本上都是寻找给定值的位置/左右边界）

一般来说，可以举例分析（画图，如果只看代码很容易绕进去）：分别假设搜索到数组最左边、最右边、以及一般情况，此时看左指针和右指针分别指向哪个特殊的位置（比如指向边界/指定值的左边/右边第一个位置），从而确定返回left还是right

704 二分查找

• easy
• 题目描述

给定一个 n 个元素有序的（升序）整型数组 nums 和一个目标值 target ，写一个函数搜索 nums 中的 target，如果目标值存在返回下标，否则返回 -1。

• 解题思路

class Solution:
    def search(self, nums: List[int], target: int) -> int:
        # 定义搜索区间为左闭右开
        left = 0
        right = len(nums)
        
		# 如果定义的区间是左闭右闭，则应写成while(left <= right):
        while (left < right):
        	# 这里不用(left+right)是为了防止整数溢出
            mid = left + (right - left)//2
            if nums[mid] > target:
                right = mid
            elif nums[mid] < target:
                left = mid + 1
            else:
                return mid
        return -1

35 搜索插入位置

• easy
• 题目描述

给定一个排序数组和一个目标值，在数组中找到目标值，并返回其索引。如果目标值不存在于数组中，返回它将会被按顺序插入的位置。
请必须使用时间复杂度为 O(log n) 的算法。

• 解题思路

class Solution:
    def searchInsert(self, nums: List[int], target: int) -> int:
        # 找到第一个比他大的元素
        # 定义搜索区间为左闭右开
        left = 0
        right = len(nums)
        while (left < right):
            mid = left + (right - left)//2
            if nums[mid] > target:
               right = mid
            elif nums[mid] < target:
                left = mid + 1
            else:
                return mid
        return left

34 在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置

• medium
• 题目描述

给定一个按照升序排列的整数数组 nums，和一个目标值 target。找出给定目标值在数组中的开始位置和结束位置。

如果数组中不存在目标值 target，返回 [-1, -1]。

设计并实现时间复杂度为 O(log n) 的算法解决此问题

• 解题思路

class Solution:
    def searchRange(self, nums: List[int], target: int) -> List[int]:
        # 寻找左边界和右边界
        res = []

        # 左边界(左闭右开)
        left = 0
        right = len(nums)
        flag = 0

        while(left < right):
            mid = left + (right - left)//2
            if nums[mid] > target:
                right = mid
            elif nums[mid] < target:
                left = mid + 1
            # 因为需要寻找左边界，所以希望右指针左移
            else:
                flag = 1
                right = mid
        if flag == 0:
            res.append(-1)
        else:
            res.append(right)
        
        # 寻找右边界
        left = 0
        right = len(nums)
        flag = 0
        while (left < right):
            mid = left + (right - left)//2
            if nums[mid] > target:
                right = mid
            elif nums[mid] < target:
                left = mid + 1
            # 用左指针不断逼近
            else:
                flag = 1
                left = mid + 1
        if flag == 0:
            res.append(-1)
        else:
            res.append(left-1)

        return res

69 x的平方根

• easy
• 题目描述

给你一个非负整数 x ，计算并返回 x 的 算术平方根 。

由于返回类型是整数，结果只保留 整数部分 ，小数部分将被 舍去 。

注意：不允许使用任何内置指数函数和算符，例如 pow(x, 0.5) 或者 x ** 0.5 。

• 解题思路

class Solution:
    def mySqrt(self, x: int) -> int:
        # y^2 <= x < (y+1)^2
        left = 0
        right = x
        # 找到首个超过x的算术平方根，即找到右边界
        while (left <= right):
            mid = left + (right - left)//2
            if mid * mid > x:
                right = mid - 1
            elif mid * mid < x:
                left = mid + 1
            else:
                return mid
        print(left)
        print(right)
        return left - 1

367 有效的完全平方数

• easy
• 题目描述

给定一个 正整数 num ，编写一个函数，如果 num 是一个完全平方数，则返回 true ，否则返回 false 。

进阶：不要 使用任何内置的库函数，如 sqrt 。

• 解题思路

class Solution:
    def isPerfectSquare(self, num: int) -> bool:
        # 用二分法查找是否存在这样一个算术平方根(左闭右闭)
        left = 1
        right = num
        while (left <= right):
            mid = left + (right - left)//2
            if mid * mid < num:
                left = mid + 1
            elif mid * mid > num:
                right = mid - 1
            else:
                return True
        return False

剑指Offer53-II 0～n-1中缺失的数字

每个数字要么等于index，要么>index(说明在此处断开了)

• easy
• 题目描述

一个长度为n-1的递增排序数组中的所有数字都是唯一的，并且每个数字都在范围0～n-1之内。在范围0～n-1内的n个数字中有且只有一个数字不在该数组中，请找出这个数字。

• 解题思路

class Solution:
    def missingNumber(self, nums: List[int]) -> int:
        # 既然只有1个数字是缺失的，那么肯定在连续的数组后面断开的那个就是
        left = 0
        right = len(nums)-1
        while(left <= right):
            mid = (right + left)//2
            # 每个数字要么等于当前index，要么大于当前index
            if nums[mid] == mid:
                left = mid + 1
            elif nums[mid] > mid:
                right = mid - 1
        return left