十、矩阵-numpy

十、矩阵

在数学中，矩阵（Matrix）是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合

如:
$$\left[\begin{array}{ccc}11& 12& 13\\ 21& 22& 23\\ 31& 32& 33\end{array}\right]$$

矩阵是高等代数学中的常见工具

在numpy 中提供了用来表示矩阵的numpy.matrix类型，该类继承自numpy.ndarray，任何针对多维数组的操作，对矩阵同样有效，但是作为子类矩阵又结合其自身的特点，做了必要的扩充，比如：乘法计算、矩阵求逆等。

创建matrix对象的方法：

​ numpy.matrix()函数

1. 矩阵对象的创建

# 通过ndarray对象创建matrix对象
numpy.matrix(
    data,        # 二维容器或' '或',' 分隔列，';'分隔行的字符串
    dtype=None,  # 数据类型
    copy=True    # 是否复制数据(缺省值为True，即复制数据)
)

创建matrix示例：

# 创建matrix操作
import numpy as np

arr = np.arange(1, 10).reshape(3, 3)
print(arr)

# 第一种方式
m = np.matrix(arr, copy=True)
print(m)
print(m.shape)
print(type(m))

# 第二种方式
m2 = np.matrix("1 2 3;4 5 6")
print(m2)

# 第三种方式
m3 = np.matrix("1, 2, 3;4, 5, 6;7, 8, 9")
print(m3)

2. 矩阵的乘法运算(点乘)

矩阵点乘运算

矩阵点乘只有在第一个矩阵的列数（column）和第二个矩阵的行数（row）相同时才有意义

如:
KaTeX parse error: Undefined control sequence: \ at position 26: …[\begin{array} \̲ ̲a_{11}&a_{12}&a…

KaTeX parse error: Undefined control sequence: \ at position 26: …[\begin{array} \̲ ̲b_{11}&b_{12} \…

KaTeX parse error: Undefined control sequence: \ at position 38: …[\begin{array} \̲ ̲a_{11}b_{11}+a_…

示例

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-f7twMQG3-1639224038382)(./img/%E7%9F%A9%E9%98%B5%E4%B9%98%E6%B3%95.png)]

矩阵乘法规则：

• 当矩阵A的列数（column）等于矩阵B的行数（row）时，A与B可以相乘
• 矩阵C的行数等于矩阵A的行数，C的列数等于B的列数
• 乘积C的第m行第n列的元素等于矩阵A的第m行的元素与矩阵B的第n列对应元素乘积之和

numpy.ndarray、numpy.matrix和pandas.DataFrame 都提供了多种方式的矩阵点乘,如:

a @ b
a.dot(b)

示例:

import numpy as np
a = np.array([[1, 2, 3],
              [4, 5, 6]])
b = np.array([[10, 20],
              [30, 40],
              [50, 60]])
c = a @ b
print(c)
#  [[220 280]
#   [490 640]]

示例：

某公司有四个工厂，分布在不同地区，同时三种产品，产量（单位；t）：

产品 工厂 ````````	P1	P2	P3
甲	5	2	4
乙	3	8	2
丙	6	0	4
丁	0	1	6

对应矩阵如下:
$$\left[\begin{array}{ccc}5& 2& 4\\ 3& 8& 2\\ 6& 0& 4\\ 0& 1& 6\end{array}\right]$$

第一列表示三种产品的单件利润，第二列表示三种产品的单件体积

	单件利润	单件体积
P1	2	4
P2	1	3
P3	3	2

对应矩阵如下:
$$\left[\begin{array}{cc}2& 4\\ 1& 3\\ 3& 2\end{array}\right]$$

计算各个生产厂的商品总利润和产品的总体积
$$\left[\begin{array}{ccc}5& 2& 4\\ 3& 8& 2\\ 6& 0& 4\\ 0& 1& 6\end{array}\right]\bullet \left[\begin{array}{cc}2& 4\\ 1& 3\\ 3& 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}24& 34\\ 20& 40\\ 24& 32\\ 19& 15\end{array}\right]$$

示例:

# 矩阵乘法
import numpy as np
import pandas as pd

a = np.array([
    [5, 2, 4],
    [3, 8, 2],
    [6, 0, 4],
    [0, 1, 6],
])
b = np.array([
    [2, 4],
    [1, 3],
    [3, 2],
])
# 数组相乘, 各对应位置元素相乘
result = a @ b  # 矩阵相乘，第n行乘m列之和，作为结果的n,m个元素

print(result)
ma = np.matrix(a)
mb = np.matrix(b)
mr = ma @ mb  # 或 mr = ma*mb 矩阵matrix 的 *乘法等同于 @乘法
print(mr)

df_a = pd.DataFrame(a, index=['甲', '乙', '丙', '丁'])
df_b = pd.DataFrame(b, columns=['总利润', '总体积'])
print(df_a @ df_b)
print(df_a.dot(df_b))

3. 单位矩阵

在矩阵的乘法中，有一种矩阵起着特殊的作用，如同数的乘法中的1，这种矩阵被称为单位矩阵。它是个方阵，从左上角到右下角的对角线（称为主对角线）上的元素均为1，除此以外全都为0，记为$I_n$或$E_n$ ，通常用I或E来表示。

根据单位矩阵的特点，任何矩阵与单位矩阵相乘都等于本身，而且单位矩阵因此独特性有广泛用途。以下是一个单位矩阵示例：
$$E_3=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$
在numpy 中。可以用 numpy.identity(n) 或 numpy.eye(n) 来生成一个单位矩阵

以下是一个单位矩阵的示例：

# 单位矩阵示例
import numpy as np

e = np.matrix("1 2 3; 4 5 6; 7 8 9")
unit = np.identity(3, dtype=int) #产生单位矩阵
print(e)

print(unit)
print("===============================")
print(e * unit)

4. 矩阵的逆矩阵

若两个矩阵A、B满足：AB = BA = E （E为单位矩阵），则成为A、B为逆矩阵（结合四则运算中的倒数理解）。

numpy 中用matrix.I 求取逆矩阵或者 使用numpy.linalg.inv(…) 函数求取逆矩阵

示例

import numpy as np

a = np.matrix("1 2 6; 3 5 7; 4 8 9")
print('------a------')
print(a)
print('------a 的逆矩阵a.I ------')
print(a.I)
print('------a 的逆矩阵np.linalg.inv(a) ------')
print(np.linalg.inv(a))


print('------a * a.I 的逆矩阵 ------')
print(a * a.I)

# 非方阵的逆（称为广义逆矩阵）
b = np.matrix("1 2 6; 3 5 7")
print(b)
print(b.I)
print(b * b.I)

注意：在计算过程中，可能出现如下错误，说明该矩阵不可逆。

numpy.linalg.LinAlgError: Singular matrix

5. 矩阵应用

案例1：假设一帮孩子和家长出去旅游，去程坐的是bus，小孩票价为3元，家长票价为3.2元，共花了118.4；回程坐的是Train，小孩票价为3.5元，家长票价为3.6元，共花了135.2。分别求小孩和家长的人数。使用矩阵求解。

假设 小孩人数 $x$ 人，大人人数$y$ 人

列方程:
$$\begin{gathered} 3x+3.2y=118.4 \\ 3.5x+3.6y=135.2 \end{gathered}$$
表示成矩阵相乘：
$$
\left[ \begin{array}{ccc}
3 & 3.2 \
3.5 & 3.6 \
\end{array} \right]
\times
\left[ \begin{array}{ccc}
x \
y \
\end{array} \right]

\left[ \begin{array}{ccc}
118.4 \
135.2 \
\end{array} \right]
$$

numpy 提供了两种方法求方程的解:

1. numpy.linalg.lstsq(A, B)[0] 求最小二乘解

2. numpy.linalg.solve(A, B) 求解线性方程的解

import numpy as np

# 解方程
prices = np.matrix('3 3.2; 3.5 3.6')
totals = np.matrix('118.4; 135.2')

x = np.linalg.lstsq(prices, totals)[0]  # 求最小二乘解
print(x)

x = np.linalg.solve(prices, totals)  # 求解线性方程的解
print(x)

x = prices.I * totals  # 利用矩阵的逆进行求解
print(x)

把逆矩阵的概念推广到非方阵，即称为广义逆矩阵。

案例2：斐波那契数列

1 1 2 3 5 8 13 21 34 …

X      1   1    1   1    1   1
       1   0    1   0    1   0
    --------------------------------
1  1   2   1    3   2    5   3
1  0   1   1    2   1    3   2
 F^1    F^2      F^3       F^4  ...  f^n

代码

import numpy as np
n = 35

# 使用递归实现斐波那契数列
def fibo(n):
    return 1 if n < 3 else fibo(n - 1) + fibo(n - 2)
print(fibo(n))

# 使用矩阵实现斐波那契数列
print(int((np.matrix('1. 1.; 1. 0.') ** (n - 1))[0, 0]))