avl小结

最新推荐文章于 2023-01-16 20:21:20 发布

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分类专栏：数据结构文章标签： avl 平衡树性质

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一、定义

为了避免树的高度增长过快，降低二叉排序树的性能，规定在插入和删除而擦函数结点，保证任意结点的左、右子树高度差的绝对值不超过1，将这样的二叉树成为平衡二叉树。

结点的平衡因子：该结点左子树高度减去右子树高度所得的差，取值只有0，1，-1

typedef int DataType;
typedef struct node{
    DataType data; //结点的数据值
    int bf;  //平衡因子
   struct node *lchild,*rchild;
}AVLNode,*AVLTree;

二、基本操作演示

Avl和bst的插入相同，但avl每次插入后都要保证平衡

当发生不平衡时，调整的是最小不平衡子树。

从插入结点那里算起，找到最先发生不平衡的结点为根的树。

（每次调整要满足bst的性质）

若三个结点处于一条直线，采用单旋。（LL和RR）

这个名字比较难受，反着记。LL字面英文意思是左左，实际名字叫右单旋

若三个结点处于一条折线，采用双旋。（LR和RL）

LR叫先左后右，看字母就懂。

接着再说那个名字。

LL,RR,LR,RL实际上是对不平衡状态的描述。

比如上面的第一个用的LR调整，

因为新插入的结点在最小不平衡子树的左（L）孩子的右（R）子树上

比如上面第二个图用的RR调整，新插入结点F在，A的右孩子C的右子树上

此外一个知识点就是，含有n个结点的avl的最大深度为 $log_{2}n$ ，也能求出最多比较次数。

三、习题

1.二叉树、二叉查找树和avl树之间什么关系？

答：二叉树时满足二叉树特性的树形结构，对树中结点的值没有限定；在一棵二叉树中结点的值可重复，也可不重复；

二叉查找树每个结点的值不重复，且比左子树所有结点值都大，比右子树所有结点值都小；

avl树是二叉查找树的特殊情形，为了保证高效查找，每次插入或删除都进行平衡化处理，使得每个结点的左右子树高度差绝对值不超过1

2.在高度为h的avl树中离根最近的叶结点在第几层

答：设高度为h的avl树的离根最近的叶结点所在层次为 $设高度为h的avl树的离根最近的叶结点所在层次为L_{h}$ $L_{h}$ ，则有 $L_{1}=1,L_{2}=2,L_{h}=min\left \{ L_{h-1} \right ,L_{h-2}\}+1=L_{h-2}+1,h>2$

直接计算公式为： $L_{h}=\left \lfloor h/2 \right \rfloor+1$

3.n个结点的avl树的最小高度为多少？最大高度为多少？

答：设avl树的高度为h,让avl树每层结点达到最大 $n\leqslant 2^{h}-1$ ，就得到它的最小高度 $h\geqslant \left \lceil log_{2}(n+1) \right \rceil$

若让根的左右子树的结点个数达到最少，可得最大高度。设高度为h的avl树的最少结点数为 $N_{h}$ ，则

最大高度满足 $N_{h}=F_{h+2}-1,F_{h+2}$ 是斐波那契数；

此外由斐波那契数通项公式，再换底推出 $h\approx 1.44*log_{2}(N_{h}+1)-0,33<1.44*log_{2}(n+1)$

4.avl树在旋转调整时只调整了最小不平衡子树，调整后avl树是否还会存在不平衡结点?为什么？

答：虽然在旋转调整时只调整了最小不平衡子树，但调整后avl树中不会再有不平衡的结点。因为当在avl树上插入结点出现不平衡时，会将最小不平衡子树的高度加1，经过调整后使得最小不平衡子树恢复原来的高度，因此除了最小不平衡子树外，其他结点的平衡因子没发生辩护，因此不会存在不平衡的的结点