数制转换与运算

最新推荐文章于 2024-03-26 18:29:18 发布

weixin_40724267

最新推荐文章于 2024-03-26 18:29:18 发布

阅读量482

点赞数 1

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：数电数制

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/weixin_40724267/article/details/87954422

本文介绍了数制转换的基本原理和方法，包括任意进制到十进制的转换，以及二、八、十六进制之间的相互转换。通过展开和加权求和的方式，详细阐述了不同数制间转换的步骤和技巧，特别强调了以二进制作为中介进行八进制和十六进制转换的策略。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

几种常用数制

多位任意进制（N进制）数展开的普遍形式：
$∑kiNi\sum k_{i}N^{i}$
式中 $k_{i}$ 为第i位的系数,N为多少进制数， $N^{i}$ 则成为第i位的权。

十进制	二进制	八进制	十六进制
$∑ki10i\sum k_{i}10^{i}$	$∑ki2i\sum k_{i}2^{i}$	$∑ki8i\sum k_{i}8^{i}$	$∑ki16i\sum k_{i}16^{i}$

eg.
$101.11)_{2}$ = $1×22+0×21+1×20+1×2−1+1×2−21\times2^{2}+0\times2^{1}+1\times2^{0}+1\times2^{-1}+1\times2^{-2}$

不同数制间的转换

N(任意进制)转化位十进制

只需利用公式 $∑kiNi\sum k_{i}N^{i}$ 展开，各项按十进制相加。

二、八、十六进制间的相互转换。

二进制	八进制	十六进制
$2^{1}$	$8=2^{3}$	$16=2^{4}$

由图可知：1位八进制数对应3位二进制数，1位十六进制数对应4位二进制数。

二、八进制相互转换：
二进制3位数每位数的权值分别为1、2、4.只需将二进制数3位对应1位八进制数进行转换即可。

二、十六进制相互转换：
与八进制相互转换类似，二进制4位数每位数的权值分别为1、2、4、8.

八、十六进制相互转换：
推荐以二进制媒介，先转到二进制，再转到八或十六进制。

十进制转化位二、八、十六

十进制转换为二进制：
先处理整数部分,十进制整数 $S)_{10}$ 可按权展开：
$(S)10=(∑ki2i)=ki2i+ki−12i−1+.......+k121+k020(S)_{10}=(\sum k_{i}2^{i})=k_{i}2^{i}+k_{i-1}2^{i-1}+.......+k_{1}2^{1}+k_{0}2^{0}$
任务转化为求系数 $k_{i}$ ：
$k_{i}2^{i}+k_{i-1}2^{i-1}+.......+k_{1}2^{1}+k_{0}2^{0})= 2(k_{i}2^{i-1}+k_{i-1}2^{i-2}+.......+k_{1}2^{0})+k_{0}$
由此可知 $S)_{10}/2$ 的余数为k_{0}，从而逐步求得各项系数。
在处理小数部分
小数部分可展开为：
$k_{-1}2^{-1}+k_{-2}2^{-2}+.......+k_{-m+1}2^{-m+1}+k_{-m}2^{-m})= 2^{-1}( k_{-1}+k_{-2}2^{-1}+.......+k_{-m+1}2^{-m+2}+k_{-m}2^{-m-1})$
有此可知小数部分乘以2后整数部分为 $k_{-1}$ ，以此类推可求得剩余各系数。