120. 三角形最小路径和（动态规划）

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#动态规划

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本文探讨了在给定三角形结构中寻找自顶向下的最小路径和的问题，提供了两种解决方案：一是使用二维数组自顶向下计算，二是采用一维数组自底向上更新，后者仅需O(n)额外空间，效率达到100%。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

给定一个三角形，找出自顶向下的最小路径和。每一步只能移动到下一行中相邻的结点上。

例如，给定三角形：

[
     [2],
    [3,4],
   [6,5,7],
  [4,1,8,3]
]
自顶向下的最小路径和为 11（即，2 + 3 + 5 + 1 = 11）。

说明：

如果你可以只使用 O(n) 的额外空间（n 为三角形的总行数）来解决这个问题，那么你的算法会很加分。

法一：二维数组自顶向下

建一个二维数组，从上往下按规则更新当前点的最小值，最后返回最后一行的最小值

效率：100%

由于没有做到 O(n) 的额外空间，所以不是很理想

class Solution {
public:
    int minimumTotal(vector<vector<int>>& triangle) {
        if (triangle.size() == 1)
            return triangle[0][0];
        if (triangle.size() == 2)
            return (triangle[1][0] < triangle[1][1] ? triangle[1][0] : triangle[1][1]) + triangle[0][0];
        vector<vector<int>> m(2);
        m[0].push_back(triangle[0][0]);
        m[1].push_back(triangle[1][0] + triangle[0][0]);
        m[1].push_back(triangle[1][1] + triangle[0][0]);
        for (int i = 2; i < triangle.size(); i++) {
            vector<int> temp;
            for (int j = 0; j <= i; j++) {
                int t1,t2;
                if (j - 1 < 0)
                    t1 = INT_MAX;
                else
                    t1 = m[i-1][j-1];
                if (j > i-1)
                    t2 = INT_MAX;
                else
                    t2 = m[i-1][j];
                temp.push_back(min(t1,t2) + triangle[i][j]);
            }
            m.push_back(temp);
        }
        int t = m.size()-1;
        int min_total = m[t][0];
        for (int i = 0; i < t + 1; i++) {
            //cout<<m[t][i]<<' ';
            if(min_total > m[t][i])
                min_total = m[t][i];
        }
        return min_total;
    }
};

法二：一维数组自底向上

效率：100%

只使用了O(n) 的额外空间

class Solution {
public:
    int minimumTotal(vector<vector<int>>& triangle) {
        int m = triangle.size()-1;
        vector<int> dp = triangle[m];
        for (int i = m - 1; i >= 0; i--) {
            for (int j = 0; j <= i; j++){
                dp[j] = min(dp[j], dp[j+1]) + triangle[i][j];
            }
        }
        return dp[0];
    }
};