算法-基础-时间复杂度

算法基础

1, 算法的基本概念

程序=数据结构+算法
算法中先学习排序算法
排序也成为排序算法(sort algorithm)， 是将一组数据按照指定的顺序进行排列的过程

2, 时间复杂度

• 时间复杂度其实是渐进时间复杂度的简称，是指计算时间的一个趋势的复杂度

T(n)=n²+7n+6 与 T(n)=3n²+2n+2 : 
时间复杂度都是：O(n²)。
  
用常数1代替运行时间中的所有加法常数  
T(n)=n²+7n+6  => T(n)=n²+7n+1

修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项  
T(n)=n²+7n+1 => T(n) = n²

去除最高阶项的系数 
T(n) = n² => T(n) = n² => O(n²)

1.常数阶O(1)

   int i=0;
   int j = 1;
   i++;
   j++;
   int m = i+j;

2.对数阶O(log2n)

说明：在while循环里面，每次都将 i 乘以 2，乘完之后，i 距离 n 就越来越近了。
假设循环x次之后，i 就大于 2 了，此时这个循环就退出了，也就是说 2 的 x 次方等于 n，
那么 x = log2n也就是说当循环 log2n 次以后，这个代码就结束了。
因此这个代码的时间复杂度为：O(log2n) 。
O(log2n) 的这个2 实际上是根据代码变化的，i = i * 3 ，则是 O(log3n) .

   int i=1;
   while(i<n) {
     i = i*2;
   }

3.线性阶O(n)

说明：这段代码，for循环里面的代码会执行n遍，因此它消耗的时间是随着n的变化而变化的，因此这类代码都可以用O(n)来表示它的时间复杂度

   for(int i=0;i<n;i++){
     j = i;
     j++;
   }

4.线性对数阶O(nlog2n)

说明：线性对数阶O(nlogN) 其实非常容易理解，将时间复杂度为O(logn)的代码循环N遍的话，那么它的时间复杂度就是 n * O(logN)，也就是了O(nlogN)

   for(m=1;m<n;m++) {
     i=1;
     while(i<n) {
       i=i*2;
     }
   }

5.平方阶O(n²)

说明：平方阶O(n²) 就更容易理解了，如果把 O(n) 的代码再嵌套循环一遍，它的时间复杂度就是 O(n²)，这段代码其实就是嵌套了2层n循环，它的时间复杂度就是 O(nn)，即 O(n²) 如果将其中一层循环的n改成m，那它的时间复杂度就变成了 O(mn)

   for(int i=0;i<n;i++) {
     for (int j=0;j<n;j++){
       ****
     }
   }

6.立方阶O(n³)

for(int i=0;i<n;i++) {
  for (int j=0;j<n;j++){
    for (int m=0;m<n;m++){
    	****
  	}
  }
}

7.k次方阶O(n^k) : 这里k>3

8.指数阶O(2ⁿ)

说明：
常见的算法时间复杂度由小到大依次为：
Ο(1)＜Ο(log2n)＜Ο(n)＜Ο(nlog2n)＜Ο(n²)＜Ο(n³)＜ Ο(n^k) ＜Ο(2ⁿ) ，
随着问题规模n的不断增大，上述时间复杂度不断增大，算法的执行效率越低
从图中可见，我们应该尽可能避免使用指数阶的算法