HDU 6362

椭圆上矩形周长期望计算

最新推荐文章于 2018-09-09 21:40:38 发布

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题目链接：oval-and-rectangle

题意：给出椭圆的长半轴和短半轴，求顶点在椭圆上的矩形的周长的期望。

题解：

求期望也就是求均值。

设椭圆的方程为 $x^{2}/a^{2}+y^{2}/b^{2}=1$ ，

设矩形在第一象限的一个顶点坐标为(x,y)，则 y的范围为(0,b)，由椭圆方程可知 $x=a*\sqrt{1-{y^{2}/{b^{2}}$ ，

所以矩形周长可表示为 $4*(x+y)=4*(y+a\sqrt{1-y^{2}/b^{2}})$

因为要求周长的期望即均值，而定积分除以积分的区间长度就是均值（可参见：数学笔记18——定积分的应用3（均值、权重、概率）），所以将周长对y积分之后再除以b即为所求。

积分过程中用到了用 $\sin \theta$ 换元，最后的积分结果为 $2*b^{2}+\pi *a*b$ ，再除以区间长度b即为最后结果。

需要注意的是题目要求输出6位小数，且输出的数不要求有四舍五入，可以将结果 -0.0000005来达到题目要求。

AC代码：

//HDU 6362
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define eps 1e-9
#define INF 0x3f3f3f3f
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define lson l,m
#define rson m+1,r
#define PI acos(-1.0)
const int MAXN=1e5+10;
int main()
{
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    int t,a,b;
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        cin>>a>>b;
        double ans=(2*b+a*PI);
        printf("%.6lf\n",ans-0.0000005);//防止四舍五入
    }
    return 0;
}