HDU 6362 oval-and-rectangle（数学+期望）

原创于 2018-09-09 21:40:38 发布 · 207 阅读

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本文介绍了一种计算椭圆内部过特定纵坐标点的内切矩形周长期望的方法。通过数学公式解析了椭圆上任意一点对应的内切矩形周长，并给出了解决方案及代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

一个椭圆的长轴和短轴长度分别为 $a,b$ ， $y$ 等概率取 $[0,b]$ 中的任意值，求该椭圆内部过纵坐标为 $y$ 的点的内切矩形周长的期望

Input

第一行一整数 $T$ 表示用例组数，每组用例输入两个整数 $a,b(0<b<a<10^5)$

Output

输出周长期望，结果取小数点前六位

Sample Input

1
2 1

Sample Output

8.283185

Solution

椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 上 $y=c$ 时横坐标绝对值即为 $\frac{a}{b}\sqrt{b^2-c^2}$ ，那么该矩形周长即为 $4(c+\frac{b}{a}\sqrt{b^2-c^2})$ ，那么周长的期望即为 $\frac{4}{b}\int_{0}^b(c+\frac{b}{a}\sqrt{b^2-c^2})dc=\frac{4}{b}(\frac{c^2}{2}+\frac{a}{b}(\frac{c}{2}\sqrt{b^2-c^2}+\frac{b^2}{2}arcsin(\frac{c}{b})))|_0^b=\pi a+2b$

Code

#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
const double PI=acos(-1.0);
int main()
{
    int T,a,b;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d%d",&a,&b);
        ll ans=(ll)(1000000.0*(PI*a+2.0*b));
        printf("%lld.%06d\n",ans/1000000,ans%1000000); 
    } 
    return 0;
}