HDU 6362 oval-and-rectangle(数学+期望)

本文介绍了一种计算椭圆内部过特定纵坐标点的内切矩形周长期望的方法。通过数学公式解析了椭圆上任意一点对应的内切矩形周长,并给出了解决方案及代码实现。

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Description

一个椭圆的长轴和短轴长度分别为a,ba,byy等概率取[0,b]中的任意值,求该椭圆内部过纵坐标为yy的点的内切矩形周长的期望

Input

第一行一整数T表示用例组数,每组用例输入两个整数a,b(0<b<a<105)a,b(0<b<a<105)

Output

输出周长期望,结果取小数点前六位

Sample Input

1
2 1

Sample Output

8.283185

Solution

椭圆x2a2+y2b2=1x2a2+y2b2=1y=cy=c时横坐标绝对值即为abb2c2abb2−c2,那么该矩形周长即为4(c+bab2c2)4(c+bab2−c2),那么周长的期望即为4bb0(c+bab2c2)dc=4b(c22+ab(c2b2c2+b22arcsin(cb)))|b0=πa+2b4b∫0b(c+bab2−c2)dc=4b(c22+ab(c2b2−c2+b22arcsin(cb)))|0b=πa+2b

Code

#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
const double PI=acos(-1.0);
int main()
{
    int T,a,b;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d%d",&a,&b);
        ll ans=(ll)(1000000.0*(PI*a+2.0*b));
        printf("%lld.%06d\n",ans/1000000,ans%1000000); 
    } 
    return 0;
}
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