09 |「整数二分」算法简析

前言

            今天算法内容是 二分法

一、例题

1、题目

LeetCode 704. 二分查找 原题链接

2、算法思路

1）二分的本质是寻找区间边界。

2）给定一个区间，在这个区间上定义了某种性质，在右半边区间满足这个性质，在左半边区间不满足，如果可以找到这样一个性质，可以将整个区间被一分为二。

3）这样，二分就可以寻找这个性质的边界点，既可以寻找出来红色边界点，也可以寻找出绿色的边界点。

3、解题步骤

• 1）确定 mid。
• 2）定义一个性质，可以将区间划为两部分，一半边满足性质（假定这半边区间为绿色），另一半边不满足性质（假定这半边区间为红色）。
• 3）更新区间。

4、源码剖析

class Solution {
public:
    int search(vector<int>& nums, int target) {
        int n = nums.size();
        int l = 0, r = n - 1;                 //（1）
        
        while (l < r)
        {
            int mid = l + r >> 1;     		  //（2）
            if (nums[mid] >= target)          //（3）
            	r = mid;  			          //（4）
            else l = mid + 1;  		          //（5）
        }
        if (nums[l] == target) return r;	  //（6）
        return -1;           				  //（7）
    }
};

• （1）确定整个区间 [l, r]；
• （2）确定 mid；
• （3）定义性质 >= target，并进行判断；
• （4）判断结果为 true 时，通过 r = mid，更新 [l, r] 为新区间；
• （5）判断结果为 false 时，通过 l = mid + 1，更新 [l, mid + 1] 为新区间；
• （6）当 l = r 时，循环结束，判断 target 是否存在，返回 l 和 r 均可；
• （7）当 target 不存在，返回 -1；

5、时间复杂度

$O(logn)$

6、注意点

• 1）为什么是 r = mid？ 当 nums[mid] 满足 >= target 性质时，mid 在绿色区间中，那么答案在 [l, mid]，mid 可能是答案，所以通过 r = mid 更新区间为 [l, mid]。
• 2）为什么是 l = mid + 1？当 nums[mid] 不满足 >= target 性质时，mid 在红色区间中，那么答案在 [mid + 1, r]，mid 不可能是答案，不能包括在内，所以通过 l = mid + 1 更新区间为 [mid + 1, r]。

二、课后习题

习题1： LeetCode 35. 搜索插入位置 原题链接

$(1)$ 找到满足 >=target的第一个数，如果所有数都 <=target则插入到最后一个位置；
$(2)$ 插入的位置可能 等于 nums.size()，在插入了target元素后整个数组的长度变为nums.size() + 1，所以两个指针的初始位置应该是 int l = 0, r = nums.size(); 而不是 int l = 0, r = nums.size() - 1；

// 参考代码
class Solution {
public:
    int searchInsert(vector<int>& nums, int target) {
        int l = 0, r = nums.size(); // 插入的位置可能是 nums.size()
        while (l < r) {
            int mid = l + r >> 1;
            if (nums[mid] >= target) r = mid;
            else l = mid + 1;
        }
        return l;
    }
};

习题2： LeetCode 剑指 Offer 53 - I. 在排序数组中查找数字 I 原题链接

$(1)$ 找到满足 >=target性质的左边界 left；
$(2)$ 找到满足 <=target性质的有边界right；
$(3)$ 左边界 left和右边界 right中的个数就等于 target的个数；

class Solution {
public:
   int search(vector<int>& nums, int target) {
       if (nums.empty()) return 0;
       int n = nums.size();
       // 找到满足性质的左边界
       int left = -1, right = n;
       int l = 0, r = n - 1;
       while (l < r) {
           int mid = (l + r) >> 1;
           if (nums[mid] >= target) r = mid;
           else l = mid + 1;
       }
       if (nums[l] != target) return 0;
       else 
       {
           left = l;
           l = 0, r = n - 1;
           while (l < r) {
               int mid = (l + r + 1) >> 1;
               if (nums[mid] <= target) l = mid;
               else r = mid - 1;
           }
           right = l;
       }

       return right - left + 1;
   }
};