本文介绍了如何使用中心差分法进行晶格离散化，以计算一维量子体系的开边界谱。通过将连续模型转化为离散的晶格模型，利用低能近似和傅里叶变换，详细阐述了从谐振子到复杂模型如SSH、Kitaev Chain和Haldane Model的处理方法。中心差分法保证了哈密顿量的厄密性和近邻跃迁的物理意义。
前些天在知乎上看到一些询问如何做晶格离散化然后计算体系的开边界谱，所以就想专门写一篇文章来谈谈离散化（开边界）的操作细节以及里面的物理。
这里面的操作细节实质只有中心差分法，这是写过数值求解微分方程的人都懂的东西，但是它在Lattice里有什么物理呢？这里确实有东西可以谈谈。
目录：
第一篇：
- 前言：如何用数值方法近似求解量子力学中的谐振子？
- 最简单的数值方法：中心差分法
- 中心差分法的物理图像：连续模型
晶格模型：低能近似+傅里叶变换
第二篇：
- 算例1：一维极化链SSH Model的离散化、低能近似！
- 算例2：Kitaev Chain的连续模型、晶格模型！
- 算例2：用中心差分法做Haldane Model 开Zigzag边界！
（为了更清楚地讲述里面的物理，在这里我会尽量用狄拉克符号来表述线性代数内容，
用
同理
1.前言：如何数值近似求解量子力学中的谐振子？
为了直观地引出中心差分法，我们不妨先来看看量子力学中的谐振子定态薛定谔方程：
在坐标表象下，操作如下
即在态矢和哈密顿量间插一个单位阵
在连续情形下
由此得到量子力学教材中常见的坐标表象下的薛定谔方程：
（当然也可以把薛定谔方程放到动量表象下求解）
通过几页的解析过程，我们可以得到这个方程的级数解。为了看波函数的形状（概率分布）我们需要计算机来作图。同时如果遇到更复杂的偏微分方程，直接求解或许不是一件令人舒服的事情。所以，不妨先把这件事情交给计算机吧，可以在之后想严格探讨方程的性质的时候再来解析分析这个方程。
2.最简单的数值方法：中心差分法
计算机不能处理连续方程！所以，如果我们要想用计算机“严格”求解方程，我们需要离散化！（或者说是把无穷维希尔伯特空间近似到有限维希尔伯特空间。）
- 回到微积分中求导的定义，我们可以把求导写成如下形式：
我们可以先取一个有限的
由此我们的希尔伯特空间从无穷维降到了有限维！
- 为什么这么说？我们可以从线性代数的角度来看：
在连续情形下，实质我们取得希尔伯特空间的基矢波函数是
离散化后的基矢：{
- 再回到上面求导的定义，我们可以用狄拉克符号重新来写出：
不妨在上式中算符
根据正交性可得：
同理可以求出二阶导数的表达式如下：
（注这里还没有谈边界条件的选取，这里的矩阵表示全是开边界的，关于边界的选取以及其结果，在之后结合拓扑物态方面的认识再综合谈一谈）
由此，我们只需要将上述谐振子方程中的求导换成算符矩阵，把势能分别对应到每个格点上的能量大小，相应的写在对角线上即可！
由此，微分方程变成了矩阵，我们所需要的仅仅只是一个eigensystem 函数！
解出来的本征值即哈密顿量本征值，本征函数即离散化的本征波函数！
3.中心差分法的物理图像：连续模型
看完上面，我想我们自然会产生一个疑问：我们知道教材书里求导的定义一般写成
为了说清这个问题，我想物理的解释会给出一个令人舒服答案！
（开门见山的说：前面的那种差分的选取更符合物理中的Hopping Model的物理！它既保证了哈密顿量的厄密性，也保证了最近邻Hopping远大于远距离Hopping的事实！我们慢慢来看如下操作：）
首先我们不妨假设体系具有平移对称性，我们可以用正则动量更换动量算符：
考虑到，我们关注的只是基态附近的低能物理，或者说凝聚态中的低能物理，我们可以认为这个正则动量
也就是说这样一处理，我们的一维系统实质成了一个一维链，而这里的
由此可以写出如下推导：
取基{
相应的矩阵表示：
同理可以推到出动能项:
相应的把相位换成Hopping：
由此可见，我们将连续的动量、动能算符换成差分表示仍然保证了厄密性，而且也只出现最近邻Hopping项！因此可以认为这样的操作是将连续的模型用一个晶格代替，动量项对应于虚的跃迁，动能项对应的会带来实跃迁以及在位能！
（闲扯：这也是为什么SOC【
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