交错级数如何判断收敛_绝对收敛与条件收敛

级数的发散性、条件收敛性和绝对收敛性

内容提要

• 相关概念

• 几个典型例题

• 条件收敛的缺点

• 绝对收敛的优点

相关概念

定义1： 设级数, 如果部分和的极限

存在，称该级数收敛，否则称该级数发散。

注记1： 设级数，由该级数诱导出正项级数。对于这两个级数收敛与发散的情况：

• 情况一：

收敛，发散

• 情况二：

收敛，收敛

• 情况三：

发散，发散

• 情况四：

发散，收敛

结论1： 对于级, 如果收敛，则必收敛。

证明： 使用Cauchy准则证明。任意给, 因为收敛，根据Cauchy准则，存在, 满足

即

所以

根据Cauchy准则得到级数收敛。【证明完毕】

注记2： 根据结论1， 注记1中的情况三、情况四不可能出现，情况一、情况二可能出现。

定义2： 级数,如果其诱导的级数收敛，称级数是绝对收敛级数。如果级数收敛，而其诱导的级数发散，称级数是条件收敛级数。

注记3： 从以上定义可以知道，绝对收敛的级数是 “最好的级数”，条件收敛的级数次之，而发散的级数是 “最差的级数”。

几个典型例题

例一：几何级数

当时收敛于且是绝对收敛级数. 当发散。

证明： 用定义法判断，略。

例二：级数

当是是绝对收敛级数，而时该级数发散。

证明： 用Cauchy法则判断，略。

例三：交错级数

当是是绝对收敛级数，而时该级数是条件收敛级数，当时该级数发散。

证明： 用Cauchy准则，莱布尼茨定理判断，略。

例四：幂指级数

当时是发散级数，而当时该级数是绝对收敛级数。

证明： 用比值法、收敛的必要条件判断，略。

例五：阶乘级数

！

对于任意，该级数是绝对收敛级数。

证明： 用比值法判断，略。

例六：级数

对于任意的, 该级数是绝对收敛级数， 当时级数发散。

证明： 记其通项. 考虑

如果，该级数绝对收敛，如果 且时, 则应用比值法

所以，这时该级数绝对收敛。综合起来，当时，该级数绝对收敛。

当时，根据比值法，

所以级数发散，因此原级数是发散级数。

• 使用比值法或者根值法判断时求出的极限小于1，判断原级数绝对收敛，求出的极限大于1，直接判断原级数发散)

当时，即正项级数

当时，即交错级数

因为

单调增加趋于，所以

单调减少趋于1，故, 从而这两种情况下级数的通项不趋于0，故级数发散。【证明完毕】

条件收敛的优缺点

• 设级数条件收敛，即

收敛，发散

缺点之一： 如果和均绝对收敛，则

按照任意方式排列求和而成的级数不一定收敛，也不一定发散。

优点之一： 如果条件收敛，则对于任意,必定存在的更序级数满足

绝对收敛的优点

• 设级数绝对收敛，即

收敛(隐含收敛)

优点之一： 如果绝对收敛，则的更序级数满足

优点之二： 如果和均绝对收敛，则

按照任意方式排列求和而成的级数绝对收敛且