matlab二元函数偏导在某一点的切线_[杂谈]从积分看微分，再到卷积核求偏导做边缘检测...

前言

这两天刷数分、高代题（虽然我开学大四，但因一些情况，我需要gap一年才会考研，今年不考，所以有时间做点闲题~~）。 发现一个用反常积分+极限的方式，可以计算一个函数的极限。题中的条件令我突然想到之前机器学习课里，讲一些边缘检测的内容。各种各样卷积核，什么Laplace算子、Gauss-Laplace算子。将灰度处理后的图片看作是一个地形图，那么边缘便是地形起伏较大的区域。

再想到对求导定义的理解，倘若对

卡到一定大小的话（ 误差小于某一值时按照任意小来处理），没有什么起伏的地方就视为平坦，有一定起伏的地方就视为有变化。求导之后，视为平坦的地方就变成0了，有起伏的地方就非0。其实，考虑函数可微性还需要基于一定的拓扑才行，一般在“图片函数”的拓扑中，可以认为都是可导的（不可导的老师也没讲啊2333）。

最后，这篇文章属于偏向数学的。但我又想把这种理解——“积分-微分-边缘检测”这个整体给表述出来。谈的有点多、杂，奈何学识有限，有些地方理解/表达不是那么准确，望指出。

大致内容：从积分角度进入，通过一些积分的特殊结果引出求导，给出一些代数角度的理解。最后简单说说关于边缘检测中的理解。

目录

• 铺垫积分的内容
• 主观能动性的体现——视积分为具有某性质的作用
• 从代数角度来看微分
• 二元离散情形

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铺垫积分的内容

这里我打算先给出我对“定积分”算子意义上的理解，以便于后面继续探讨~

有句话说得好，

割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣——刘徽。

对于积分，可以理解是一种“连续指标”下的求和，换做一种向量的视角下

陆艺：聊一聊【向量】视角下的函数（例子：傅里叶变换）​zhuanlan.zhihu.com

（该文意在抛出一种 向量-函数 的观念）

就是一个向量，与某个数量向量的内积了，即对于积分

可以看做这两个向量的内积

然后再令

。

当然，这些讨论的是Riemann积分，其实Riemann积分还可以看作是对函数的“条形图”求面积。

那Lebesgue积分呢？其实就是对函数的“直方图”求面积啦。

Riemann求积分的过程显然是个按”数组“顺序求和的过程，但是Lebesgue积分，更像按照dict这个类型求和（注：dict为python中的一种数据类型，键对应值，而键不具有顺序。）

好，铺垫到此为止，下面说说关于积分的玩法~

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主观能动性的体现——视积分为具有某性质的作用

高中时，我们都学过哲学（不是哲♂学）。其中，里面有句话说：“人区别于其他物的表现在于人具有主观能动性”。

如果要通过“积分”来体现出主观能动性的话，仅停留于表面还是不行的（背个定义、考个期末），还需要对“积分”有更加深刻的理解才行。当然 ，胡思乱想、乱用概念也是夸大了“主观能动性”的作用（改编不是乱编，戏说不是胡说）。

所以，咱们首先需要知道积分能有哪些”高级“性质（一般教科书上的线性性质、两个中值定理还有不等式关系这里暂且不谈，因为和主题关系不大）。下面，通过几道题来观察它的”高级“性质（题目比较简单涉及证明的地方可以自行忽略，即“证明：......QED”之间的内容）。

这道题，先摆出来证明过程，再说背后原理。

例 设

在

上连续，则有：

证明：

通过计算发现

所以，原来的问题就可以归结为

即证明极限

但

因

在

处连续。所以

，当

充分小时，在

上，

可以看做是

，即 可以令

从而，对于第一个积分

对于这样的

，第二个积分则有

令

时，命题得证。

QED

其实，对于这种定积分参数带极限的问题，就拿这题来说，可以做如下的思考。

将变量进行替换，再做一步整理

然后，通过简单画出相应的示意图，则有

g为某个连续函数（虽然画的在0处不那么连续，，，忽略它。。）

能发现，随着

减小，

在图像上会不断向右移动。但是要清楚一点，

并不随之变化。也就是说，如果

在闭区间上连续，根据连续定义，

附近的

在

某一程度上，都可以用

来表示。（其实极限这种东西又可以看做一种对“商空间” 的定义（高阶无穷小的函数空间），这样也可以看做是一种“模”233 ：陆艺：模形式随记（一）序）

假设，在

中，

。当

不断缩小时，原先的

会不断增大。因为是取的极限，姑且将超过这部分的极限商去。

也就是说，当

足够大，

将

以常数

形式遍布整个积分区间

。那也许有人问，不对呀，不管

再怎么大，它应该

商不下去吧？但是别忘了，还有这个东西

与之作乘法，也就是说，当

向右平移到某个值时，剩下的有界部分，直接就

置零了！（我之所以说“置零”，是因为这种表述方式更具有主动性。表示：“并不是这个函数本身乘完后是零”而是“通过人为构造，使之称为0”）

最终结果，就是：”取函数的0处的值，并扩大了

“

同样的一些问题还有几个，我先列出来，证明的内在思路是差不多的，表述上会有所不同，这里就不再去细讲了。

例 设

在

上可积，

，

是

为

周期的函数，在

上可积，则有

按照上面所讲的，可以想成把

的原像拉的足够开，然后与周期函数“点对点”相乘后求和，对于每一点，相当于扩大/缩小了

.

例（Riemann-Lebesgue引理） 若

在

上可积，

是

为

周期的函数，在

上可积，则

这里

不再

非负，不过，一个函数可以表达为：非负函数+负函数之和的形式。从而借助上一个命题得证。将周期函数换为正余弦函数，就成了傅里叶第n项展开，随之右侧也变为0，同时揭示该展开的一般项收敛。据说，该引理对于傅里叶分析、信号处理领域有所应用。

例 若

在

上可积，

是

为周期的函数，在

上可积，则

该命题可以看作是上一个命题的推广，不过极限是针对于实数的。证明上可以先：有理数成立

对足够大的实数满足”

差的绝对值任意小“。该命题为傅里叶变换（区间段上）的收敛性做了铺垫。

例（Riemann定理） 若

在

上绝对可积，

是

为周期的函数，在

上可积，则

证明上，借助上一命题，只需要考虑积分区间足够大之外的部分即可。

从上面这些，可以看出，在区间上对某一个函数进行积分可以记为

所以，对于第一个例子，可以看成

(充当泛函的作用~)

下面，是我特别想要说的，就是用积分来表示求导：

例 设

为

上连续的函数，如果该函数满足

设

是

上可微函数，则

证明：

通过替换变量，等式左边可以成为

然后根据

可以有

此处

相对于积分来说是常数。

然后往导数方向凑凑 ，根据

.也就是说需要证明

成立。那它为什么成立呢？

因为

，所以积分上下限为

。 当

足够小的时候，根据可微条件与

可以得出

QED。

所以，这种积分变换，可以用符号

来表示，即

（令

即可满足条件）

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从代数角度来看微分

先提两个概念，一个是线性空间，一个是线性映射。

要知道数学中，最原始的概念应该是集合，所谓空间、代数、格、模、域、环还有群，都是在集合上不断添加性质猜得到的。正所谓：“世上本无路，有了腿才有了路”~

对于域上线性空间就是对两个封闭运算（加法、数乘）满足：加法交换、结合，含有幺元、零元、加法逆元；数乘上，满足”一数分配两个向量“、”两数之和分配一个向量 、“一次数乘可分成两数先后相乘“。

于是乎，

• 几何空间中所有以原点为起点所有向量组成的几何，对于向量加法和数量乘法成为
  上的一个线性空间。
• 域
  上所有
  元有序组组成的集合
  ，对于矩阵的加法与数量乘法，成为域
  上的一个线性空间，称为域
  的
  维线性空间。
• 数域
  上矩阵组成集合
• 多项式组成的集合
  （可以限制次数小于
  ）
• 复数域
• 所有
  到
  上的函数

当一个集合里的元素，满足线性性质的时候，就可以通过“基（base）”来表达任意一个点了，而且是唯一的。如果基有限，那么只需要研究好基就能挖掘好空间性质。

对于空间的表示，既然是具备线性性质了，那么也可以用一根一根的线来表达：

简略的示意图

对于线性映射与线性变换，是指具有齐次性和可加性的映射，前者一般表示从一种空间到另一种空间映射，后者指空间到自身的映射。就好像：一张纸烧成灰与一张纸变成纸飞机的区别。

在数学分析中，有个东西角泰勒展开，将一个函数，在局部意义下写成一个多项式的情形。将超过某一个

的部分商去（误差项

）。

所以不妨先来看看多项式空间

中的微分算子

，

对于基为

分别对应

为向量 的每一位。譬如

于是，用矩阵表示该算子即为

发现，这也是个主对角全部为0的Jordan块，所以幂零指数为

。

当然，对于不同的基，微分算子的矩阵表示也会有所不同，这里就不多去叙述。

对于一元函数的线性表示——向量，来做求导， 这个算子是可以的。

那么对于二元函数——矩阵，这个怎么求导呢？

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二元离散情形

一般的卷积定义为

可积。

t=A时的卷积

离散的情形就是

相应的

用一个二元函数来表示某一张图，

为两个有限整数集，即函数

可以当成函数来看，用矩阵表示则为

当变量超过原像（可以看成有限点组成的格）的时候，按零来处理。

对于这篇文章的封面，画成图，即

文章封面的灰度地形图

回顾之前所说的用积分定义的求导

设

为

上连续的函数，如果该函数满足

设

是

上可微函数，则

能发现，这两个矩阵

,

（sobel算子）对原始图像做卷积，正好（其实概算子的条件多了）满足上面这三条定义，联系二维离散函数的表示，可以看做分别对x、y求偏导的算子（其实这个算子有个往正交方向两侧平滑的过程在里面的，完全求偏导的算子我有点拿不准，网上也没搜到，所以就没放上来。。）。

关于这种检测的实验结果，可以搜索其他人的文章（边缘检测）即可。