Leetcode刷题笔记——剑指 Offer 16. 数值的整数次方（中等）

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题目描述

实现 $pow(x,n)$ ，即计算 $x$ 的 $n$ 次幂函数（即，$x^n$）。不得使用库函数，同时不需要考虑大数问题。

解法

求 $x^n$ 最简单的方法是通过循环将 $n$ 个 $x$ 乘起来，依次求 $x^1,x^2,...,x^{n-1},x^n$ ，时间复杂度为 $O(n)$ 。
快速幂法 可将时间复杂度降低至 $O(lo{g}_{2}n)$ ，以下从 “二分法” 和 “二进制” 两个角度解析快速幂法。

快速幂解析（二进制角度）：

• 对于任何十进制正整数 $n$ ，设其二进制为 "$b_m...b_3{b}_2{b}_1$ "（ $b_i$ 为二进制某位值，$i\in [1,m]$ ），则有：

  • 二进制转十进制： $n=1b_1+2b_2+4b_3+...+2^{m-1}{b}_m$ （即二进制转十进制公式） ；
  • 幂的二进制展开： $x^n=x^{1b_1+2b_2+4b_3+...+2^{m-1}{b}_m}=x^{1b_1}{x}^{2b_2}{x}^{4b_3}...x^{2^{m-1}{b}_m}$ ；

• 根据以上推导，可把计算 $x^n$ 转化为解决以下两个问题：

  • 计算 $x^1,x^2,x^4,...,x^{2^{m-1}}$ 的值： 循环赋值操作 $x=x^2$ 即可；
  • 获取二进制各位 $b_1,b_2,b_3,...,b_m$ 的值： 循环执行以下操作即可。
    • $n\&1$ （与操作）： 判断 $n$ 二进制最右一位是否为 $1$ ；
    • $n>>1$ （移位操作）： $n$ 右移一位（可理解为删除最后一位）。

• 因此，应用以上操作，可在循环中依次计算 $x^{2^0{b}_1},x^{2^1{b}_2},...,x^{2^{m-1}{b}_m}$ 的值，并将所有 $x^{2^{i-1}{b}_i}$ 累计相乘即可。

  • 当 $b_i=0$ 时：$x^{2^{i-1}{b}_i}=1$ ；
  • 当 $b_i=1$ 时：$x^{2^{i-1}{b}_i}=x^{2^{i-1}}$ ；

快速幂解析（二分法角度）：

• 二分推导： $x^n=x^{n/2}\times x^{n/2}=(x^2{)}^{n/2}$ ，令 $n/2$ 为整数，则需要分为奇偶两种情况（设向下取整除法符号为 “$//$” ）：
  • 当 $n$ 为偶数： $x^n=(x^2{)}^{n//2}$ ；
  • 当 $n$ 为奇数： $x^n=x(x^2{)}^{n//2}$ ，即会多出一项 $x$ ；
• 幂结果获取：
  • 根据二分推导，可通过循环 $x=x^2$ 操作，每次把幂从 $n$ 降至 $n//2$ ，直至将幂降为 $0$ ；
  • 设 $res=1$ ，则初始状态 $x^n=x^n\times res$ 。在循环二分时，每当 $n$ 为奇数时，将多出的一项
    $x$ 乘入 $res$ ，则最终可化至 $x^n=x^0\times res=res$ ，返回 $res$ 即可。

• 转化为位运算：
  • 向下整除 $n//2$ 等价于 右移一位 $n>>1$ ；
  • 取余数 $n\%$ 等价于 判断二进制最右一位值 $n\&1$ ；

算法流程：

1. 当 $x=0$ 时：直接返回 $0$ （避免后续 $x=1/x$ 操作报错）。

2. 初始化 $res=1$ ；

3. 当 $n<0$ 时：把问题转化至 $n\ge 0$ 的范围内，即执行 $x=1/x$ ，$n=-n$ ；

4. 循环计算：当 $n=0$ 时跳出；

   1. 当 $n\&1=1$ 时：将当前 $x$ 乘入 $res$ （即 $res\ast =x$）；
   2. 执行 $x=x^2$ （即 $x\ast =x$ ）；
   3. 执行 $n$ 右移一位（即 $n>>=1$）。

5. 返回 $res$。

复杂度分析

• 时间复杂度 $O(lo{g}_{2}n)$ ： 二分的时间复杂度为对数级别。
• 空间复杂度 $O(1)$ ： $res$, $b$ 等变量占用常数大小额外空间。

C++代码实现

class Solution {
public:
    double myPow(double x, int n) {
        if(x == 0) return 0;
        long b = n;
        double res = 1.0;
        if(b < 0) {
            x = 1 / x;
            b = -b;
        }
        while(b > 0) {
            if((b & 1) == 1) res *= x;
            x *= x;
            b >>= 1;
        }
        return res;
    }
};

参考链接

[1] https://leetcode-cn.com/problems/shu-zhi-de-zheng-shu-ci-fang-lcof/solution/mian-shi-ti-16-shu-zhi-de-zheng-shu-ci-fang-kuai-s/