0/0型极限等于多少_高数求极限的一些总结

感谢 @聚创考研 的张帆老师，给我上了一堂生动的课。特此总结一下课上求极限的方法（怕自己忘了）。

关于求极限的考点

1.普通求极限

我们知道求极限的考点往往都是考分子分母型的，因为这样可以有效利用等价/高阶/低阶无穷小的理论，即使求极限是加减乘的类型，我们也尽可能要转化为除法的类型（这就是七种未定式），然而，知道这些还不够，因为考研是一项选拔性考试，不是水平考核性质的考试，学会将应对水平考试的态度和习惯转化为应对选拔性考试十分重要，在此基础上，要清楚的认识到，高数教科书上的题只是最基本的，要应付考研，需要有更深入的思维。在求极限方面也是一样（所以最基本的洛必达法则一般用不上）。

例题一、

面对这道题，用等价/高阶/低阶无穷小显得不能用（因为是趋近于无穷），但是，我们就要比谁更大，即寻找最大项（张帆老师把这个叫“大哥理论”），然后使用无穷大替换（即用最大项替换全部），在

的时候，分子分母的最大项是

幂次最高项，在

的时候分子分母的最大项是

幂次最低项，所以对这道题来说，我们应该寻找幂次最高项，对分子来说，

和

是同一幂次的，所以，最大幂次是1，所以我们就把边上那个1和根式里面的

忽略掉就行了，对于分母来说，最大幂次也是1，至于

的幂次，因为

始终是小于等于一的，所以可以把他的幂次当作是常数，也就是0，可以忽略掉，这样一来公式就变成了

由于

是趋向于

负无穷的，所以原式等价于

也就是1。

例题二、

基本操作，

里的东西减去个1然后等价无穷小替换.

变成了

我们知道，等价/高阶/低阶无穷小替换的本质其实是转化为幂函数的形态，所以为了在0处能够把sinx和cosx转化为幂函数，在加减法的环境下应用等价无穷小，就要用到麦克劳林公式（平时老师说不能在加减法情况下应用等价无穷小是因为精度不够，应用了麦克劳林公式就能确保精度，那么到底要展开到哪几项呢？因为分子分母的最大项精度要保持一致才能互相消去，比如这道题就要分母上下可以同时展开到

的一次幂就能互相消去。），其中

的展开是

而

的展开是

，所以

保留最大项目

，

保留1，而分子中的

也可以展开为

（这里用到了一个展开公式 (

当然你直接用麦克劳林也行，只不过用公式会更快一点）,由于分母最大项是1次幂，所以保留

即可这样原式就变成了

例题三、

这道题需要用到一个小技巧，即

,则分母变为

,

在

的时候接近于e，由于

非零因式直接带入原则所以可以去掉，剩下来的用以上两个例题的技巧可以轻松解决（事实上，类似

这样的式子有一个特点，那就是

型，这一类型的极限一般是提取一个公共因子使得成为

类型）。

例题四、

由于是

所以可以用泰勒公式展开得到:

例题五、

这里要注意

的时候分为

和

两类，

的时候

，先等价无穷小替换，得到

以及

原式变成

而

的时候原式变成了

这个时候要求趋向于无穷的时候，虽然幂函数不适用于这种情况，但幂函数找

最大项的本质是 无穷大替换，所以我们可以用到 速度的阶的理论，在x趋向于无穷或者0的时候， 指数函数>>幂函数>>对数函数，这个式子里ln里的1完全可以被替换掉，因此原式就变成了

同理，以下极限也可以应用这个理论,用一个因式替换全部：

例题六、

遇到有

的式子，可以先想办法合并

例题七、

第一步先通分化为乘除法得到

此时，分母无穷小替换得

此时，我们可以想到，分子的最大项为次数最小的项，通过对分子进行麦克劳林展开可以发现，

次数最小的项不是

就是

,当然由于

被消掉了，因此展开得到分子：

注意，这里有些同学可能觉得分子化到

就够了，没必要化到

项，事实上，因为分母的最小项是

,所以分子务必也要化到

来确保精度。

例题八、

遇到

的时候要首先想到平方差公式来化简，如在这道题使用平方差公式化简后变成

例题九、化幂指函数为对数

这一类的题比较特殊，比如下面这道题会有同学将两个重要极限之一

带入求得答案1，事实上，这个答案是错误的，正确的答案是1

设函数

在

的某领域内有定义，且

,求

用同样方法化为对数做。

例题十、

某些函数等价无穷小也比较难替换，可以用拉格朗日中值定理来等价无穷小替换

数列极限：

从而

例题十、综合应用

这一类较为繁琐，可能同时用到变限积分、泰勒、等价无穷小、洛必达，一般做题的顺序是先等价无穷小、再泰勒、最后用洛必达，中间化简的过程中遇到极限为常数的因子直接带常数。

首先令

化简变限积分得到

提出

得到

使用等价无穷小替换

并使用常数替换极限为常数的因子

得到

使用泰勒公式得到

最后使用洛必达法则

下面附上一些常用泰勒展开和等价无穷小，考试的时候务必要记住:

其中 ①式减②式可以得到

1减③式可以得到

④式减1可以得到

⑤式减1，可以得到

还有一些要记住

2.变限积分求极限

一句话，变限积分求极限，一般用洛必达法则,既然应用了洛必达法则，那么变限积分的求导一定又是过不去的一道坎。这个我打算放到求导那章整理。

此外，某些变限积分的极限化简可以用泰勒公式来简化.

例1

这道题常规做法是用洛必达化为

实际上用泰勒展开也可以做

例2

原式

例3

这道题分母为1，不能用洛必达，又是趋于无穷不能用泰勒，只能用夹逼准则了。

当

时

趋于0且单调递减

故当

时有

由于

可以被当作常数

故

由于上式左右两端在

时候的极限都为0

故由夹逼准则

3.数列求极限

数列求极限的方法主要用到了夹逼准则、单调有界准则、化为定积分求解

例题1：

证明:(1)

(2)设

,则数列极限存在

解：

（1）遇到有根式的分母，首先想到的是分子分母有理化，不等式左右两侧分母无法进一步有理化，只能分式中间开始有理化,同时乘以

，使用平方差公式得到：

变形得到：

上式很容易看出成立。

（2）数列极限，要用到单调有界准则，至于怎么用，第一问给了提示。首先判断数列的单调性，让

故数列单调递减，这样只要证明数列大于某个数就行了，由第一问的结果可以将数列放缩为：

故

有界，则

有极限。

例题2：

设数列

满足：

,证明

收敛，并求

解：可以用拉格朗日证明数列的单调性

由于

单调，故

单调递减

由于

的具体公式没有给出，而仅仅只给出了

,所以采用

数学归纳法。

当

时，

假设

时

当

时

则

故对所有

都有

由于

单调有界，故有极限。

这个时候，不妨设极限为一个常数

设

则

故由

得到

求得

,故极限为0。

例题3：

求极限

这个要用到夹逼准则，而这种无穷数列恰好又能化为定积分。

变形

转化为积分

从而得到极限为

即

例题4：

这题一开始想到夹逼准则，但是实际上不太行，正确思路是化为定积分

原式=

例题5：

当

时，

求极限

我们知道，取对数可以解决的问题有两种，一种是

的时候可以取对数，还有一种则是本例，把

乘除化为加减

由于

故由夹逼准则得原式=

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