几何分布期望，方差推导

几何分布的概率质量函数：

$$\begin{align} p(k) &= p(1-p)^{k-1}, & \text{for k = 1,2,3,...} \end{align}$$

期望推导：

$$\begin{align} E(k) &= \sum_{k=1}^n kp(1-p)^{k-1} \\[1ex] &= p\sum_{k=1}^nk(1-p)^{k-1} \\[1ex] &= p(1+2q+3q^2+...+nq^{n-1}) &\text{令q=(1-p)} \end{align}$$
使用倍差法/错位相减法求和：
$$令S_k=1+2q+3q^2+...+nq^{n-1} \tag 1$$

则qSk=q+2q2+