一维时间序列信号的基于小波集的时频超分辨率分析方法（Python）

由于小波变换只能反映信号的零维奇异性，即只能表达奇异点的位置和特性。事实上具有线奇异的函数在高维空间中非常普遍，例如，自然物体光滑边界使得自然图像的不连续性往往体现为光滑曲线上的奇异性，而并不仅仅是点奇异。对于一个二阶可导的光滑曲线奇异函数，小波非线性逼近的误差衰减级较小，其重要的原因是二维可分离小波基只具有有限的方向，即水平、垂直、对角、方向性的缺乏使得小波并不能充分利用图像本身的几何正则性。小波在表示这些函数时并不是最优的或者最稀疏的表示方法。

为了更好地处理高维奇异性，一类带有方向性的稀疏表示方法－超小波分析应运而生（也称为多尺度几何分析）。它的产生符合人类视觉皮层对图像有效表示的要求，即局部性、方向性和多尺度性。其目的是为具有面奇异或线奇异的高维函数找到最优或最稀疏的表示方法。

为了解决小波不能有效地处理高维奇异性的问题，脊波Ridgelet被提出，其基本思想是用一系列脊函数的叠加来表示相当广泛的函数类，它不但具有离散变换的近似正交的脊函数框架，而且其构造可用小波理论作为指导。脊波变换是一种非自适应的高维函数表示方法，对具有直线奇异的多变量函数能达到“最优”的逼近阶，但对含曲线奇异的多变量函数，其逼近性能只相当于小波变换，不具有最优的非线性逼近误差衰减阶。

脊波变换的核心主要是经过Radon变换把线状奇异性变换成点状奇异性。小波变换能有效地处理在Radon域的点状奇异性，其本质就是通过对小波基函数添加一个表征方向的参数得到的，所以它不但与小波一样有局部时频分析的能力，还具有很强的方向选择和辨识能力，可以非常有效地表示信号中具有方向性的奇异特征。这是小波方法所不能达到的。

鉴于此，采用基于小波集的时频超分辨率分析方法对一维时间序列信号进行分析，一定程度上提高了时频分辨率，代码采用Python编写。