数论+容斥

(数论+容斥)

小学生一发

数论只会gcd的弱渣今天遇到一道加容斥的题目，感觉颇深，故特书此文来纪念一下。

Rinne Loves Sequence

题目描述:
Rinne给你一个序列$a$，该序列初始为空，要求你支持如下操作：

1. 插入一个数，如果已经存在则忽略该操作
2. 删除一个数，如果不存在则忽略该操作
3. 询问${\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=i+1}^n[gcd(a_i,a_j)=1]$,
   定义$[]$的意义为如果里面的表达式为真则值为1.

输入:
第一行一个整数$N$, 表示总的操作次数。
接下来$N$行，每行二个整数$opt,x$。
若$opt=1$, 则表示插入$x$；
若$opt=2$, 则表示删除$x$;
若$opt=3$, 则表示询问，此时忽略$x$。
$(n\le 2\cdot 10^5,1\le a_i\le 5\cdot 10^5)$

输出:
对于每一个询问，一行输出一个非负整数表示答案。

解析

题目的意思是让我们维护一个可以支持增加和删除操作的序列$a$的互质对数。显然直接暴力是不行(如果可以，好吧，不存在的)。因为是在线的操作，考虑对于一个新加进来的数$x$，可以维护一个数组$sum$用与记录当前序列中的每个因子的个数，那么这样，对于每个读取的$x$，先对其进行素因子分解，然后对于增加操作，只需要知道当前序列$a$中有多少个数与$x$有共同的因子，删除操作也同理。
这个查找和维和$sum$数组的过程利用容斥原理来实现，容斥公式具体为:
$|A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_m|={\sum }_{1\le i\le m}|A_i|-{\sum }_{1\le i<j\le m}|A_i\cap A_j|+{\sum }_{1\le i<j<k\le m}|A_i\cap A_j\cap A_k|-\cdots +(-1{)}^{m-1}\cdot |A_1\cap A_2\cap \cdots \cap A_m|$
对于容斥的实现采用$dfs$深搜的方式。在增加$x$的过程中要后更新$sum$数组，在减少$x$的过程中要先更新$sum$数组。

AC代码:

//  小学生一发的刷题之路
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//  数论-容斥
//
//

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <string>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <deque>                //双向队列;
#include <cmath>
#include <set>
#include <stack>
#include <map>
#include <vector>
#include <cstdlib>
#include <iomanip>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef long double ld;
const double PI=acos(-1.0);
const double eps=1e-8;
const int maxn=5e5+5;
const int maxm=1e6+5;
const ll mod=1e9+7;
const int INF=1e8;
template<class T>
void read(T &ret){              //快速输入模版;
    ret=0;
    int f=1;
    char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9'){
        if(c=='-') f=-1;
        c=getchar();
    }
    while(c>='0'&&c<='9'){
        ret=ret*10+c-'0';
        c=getchar();
    }
    ret*=f;
}

int n,sum[maxn],flag[maxn],m;
int p[30],op,cnt,x;         //cnt为x的素因子个数;
ll ans=0;

void dfs(int i,int v,int k){
    if(i>cnt){
        if(op==1){          //添数操作;
            if(k%2){
                ans-=sum[v];
            }else{
                ans+=sum[v];
            }
            sum[v]++;
        }else{              //删数操作;
            sum[v]--;
            if(k%2){
                ans+=sum[v];
            }else{
                ans-=sum[v];
            }
        }
        return;
    }
    dfs(i+1,v*p[i],k+1);
    dfs(i+1,v,k);
}

void devide(int x){         //x的素数分解函数;
    cnt=0;
    for(int i=2;i*i<=x;i++){
        if(x%i==0){
            p[++cnt]=i;
            while(x%i==0){
                x/=i;
            }
        }
    }
    if(x>1){
        p[++cnt]=x;
    }
}

int main()
{
    memset(sum,0,sizeof(sum));
    memset(flag,0,sizeof(flag));
    scanf("%d",&n);
    m=0;            //当前已有的数的个数;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        read(op);
        read(x);
        if(op==1){
            if(!flag[x]){
                flag[x]=1;
                devide(x);
                sum[1]=m;
                dfs(1,1,0);
                m++;
            }
        }else if(op==2){
            if(flag[x]){
                flag[x]=0;
                devide(x);
                sum[1]=m;
                dfs(1,1,0);
                m--;
            }
        }else if(op==3){
            printf("%lld\n",ans);
        }
    }
    return 0;
}

新的开始，每天都要快乐哈。