股票交易问题(带冷冻期)

题目

//来自leetcode

给定一个整数数组,其中第 i 个元素代表了第 i 天的股票价格 。​

设计一个算法计算出最大利润。在满足以下约束条件下,你可以尽可能地完成更多的交易(多次买卖一支股票):

你不能同时参与多笔交易(你必须在再次购买前出售掉之前的股票)。
卖出股票后,你无法在第二天买入股票 (即冷冻期为 1 天)。

输入示例

1 2 3 0 2

输出示例

3

解题思路

这道题也是北航2017级算法考试的一道中等题,考点是动态规划。考场上想到了正确的状态专业方程,但没敢尝试做题。
动态转移方程如下,我们维护买入和卖出两个数组,卖出后,必须隔一天才能买入,所以有了buy数组的转移方程。这个思路其实也可以解决没有冷冻期的股票买卖问题,只要把sell[i-2]变为sell[i-1]即可。不得不说,动态规划,还是很玄妙很有意思的东西。

buy[i]=max(sell[i-2]-price[i],buy[i-1])
sell[i]=max(buy[i-1]+price[i],sell[i-1])

leetcodeAC代码

//该代码在leetcode英文站提交通过,但中文站显示为待审,并超时,不知道原因何在
//因北航oj不开放考试题目,所以也就不提供带输入输出的完整代码了(避免坑到其他人)
class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int n=prices.size();
        if(n==0||n==1)
            return 0;
        int buy[n],sell[n];
        buy[0]=-prices[0];
        sell[0]=0;
        buy[1]=max(-prices[0],-prices[1]);
        sell[1]=max(0,buy[0]+prices[1]);
        for(int i=2;i<n;i++)
        {
            buy[i]=max(sell[i-2]-prices[i],buy[i-1]);
            sell[i]=max(sell[i-1],buy[i-1]+prices[i]);
        }
        return sell[n-1];
    }
};
<think>好的,我需要帮助用户理解含有冷冻股票买卖最佳时机的动态规划算法,并给出Python实现。首先,我得回顾一下用户提供的引用资料,特别是引用[5]中的代码和思路。用户的问题是关于动态规划解决这个问题的具体步骤和代码实现。 首先,这个问题的主要约束是卖出股票后有一天冷冻,不能立即买入。动态规划通常适用于这类问题,因为它可以分解问题到每天的状态,并记录每个状态下的最大收益。根据引用[5],状态被分为四种:保持买入状态、保持卖出状态、当天卖出、冷冻。我需要理清每个状态之间的转移关系。 保持买入状态(状态0):可能是前一天已经是买入状态,或者当天买入。而当天买入又可能来自前一天的冷冻或保持卖出状态。这里需要注意,买入时必须是前一天没有卖出操作,即不在冷冻。 保持卖出状态(状态1):可能是前一天已经是卖出状态,或者前一天是冷冻。这表示当天没有进行任何操作,处于可买入但未买入的状态。 当天卖出(状态2):这只能在当天卖出,所以前一天的必须处于买入状态,卖出后进入冷冻冷冻(状态3):只能在前一天卖出后进入,所以当天的状态由前一天的卖出状态转移而来。 接下来,初始化部分,第一天只能买入或者不操作,所以状态0的初始值为-prices[0],其他状态因为没有卖出,收益为0。 然后,遍历每一天的价格,根据状态转移方程更新每个状态的最大收益。最后,取最后一天所有状态的最大值,因为最终可能处于卖出或冷冻状态。 需要检查代码中的转移方程是否正确,比如状态0的转移是否考虑了所有可能的前驱状态。例如,在状态0的更新中,是否允许从冷冻(状态3)或保持卖出(状态1)后买入?是的,因为冷冻之后的下一天可以买入,而保持卖出状态时也可以随时买入,只要没有卖出操作在前一天。 用户可能需要更详细的解释,比如每个状态的定义和转移逻辑,以及为什么这样设计状态。此外,代码中的初始化是否正确,循环中的处理是否覆盖了所有情况。 最后,需要确保给出的Python代码正确无误,并且与引用[5]中的代码一致,同时解释清楚每一步的作用。可能还需要讨论时间复杂度和空间复杂度,以及优化方法,比如状态压缩,减少空间使用。</think>### 买卖股票最佳时机含冷冻的动态规划解析 #### 问题核心 在股票交易中,卖出后需等待一天冷冻才能再次买入,需通过动态规划合理规划买卖操作以实现最大收益。 --- ### 一、动态规划状态定义 定义四个状态描述每日可能的交易状态: 1. **状态0**:保持买入状态(当日持有股票) 2. **状态1**:保持卖出状态(当日未持有股票,且未处于冷冻) 3. **状态2**:当日卖出股票 4. **状态3**:处于冷冻(仅持续一天) --- ### 二、状态转移方程 1. **状态0**:$dp[i][0] = \max(dp[i-1][0], \max(dp[i-1][1] - p, dp[i-1][3] - p))$ - 延续前一天的买入状态,或从非冷冻(状态1/3)买入 2. **状态1**:$dp[i][1] = \max(dp[i-1][1], dp[i-1][3])$ - 延续前一天的卖出状态,或前一天是冷冻 3. **状态2**:$dp[i][2] = dp[i-1][0] + p$ - 必须在前一天持有股票时卖出 4. **状态3**:$dp[i][3] = dp[i-1][2]$ - 仅在前一天卖出后进入冷冻 --- ### 三、Python代码实现 ```python def maxProfit(prices): n = len(prices) if n == 0: return 0 dp = [[0] * 4 for _ in range(n)] dp[0][0] = -prices[0] # 初始买入状态 for i in range(1, n): # 状态0: 保持买入或当天买入(需从前一天的卖出/冷冻转移) dp[i][0] = max(dp[i-1][0], max(dp[i-1][1] - prices[i], dp[i-1][3] - prices[i])) # 状态1: 保持卖出或从冷冻转移 dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][3]) # 状态2: 当天卖出(必须前一天持有) dp[i][2] = dp[i-1][0] + prices[i] # 状态3: 冷冻(前一天卖出) dp[i][3] = dp[i-1][2] return max(dp[-1]) # 最终取所有状态的最大值 ``` --- ### 四、算法分析 1. **时间复杂度**:$O(n)$,遍历一次价格数组 2. **空间复杂度**:$O(n)$,可优化为$O(1)$(用变量代替二维数组)[^5] 3. **关键点**:明确状态转移关系,冷冻仅影响买入操作的时机[^1][^2] ---
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