08AX=b可解性及解的结构

前面讨论了$Ax=0$的解的情况：

• 至少有一个零解
• 最大的子空间就是列数维度的空间
• 接着就是一直“坍塌”成零空间

一、$Ax=b$进行RREF

上一节课，我们解决了$Ax=0$解的问题，这个问题被由最后的$Rx=0$解决，这一节我们讨论更加一般的情况$Ax=b$。

$$\left[\begin{array}{cccc}1& 3& 0& 2\\ 0& 0& 1& 4\\ 1& 3& 1& 6\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ 6\\ 7\end{array}\right]$$
四个未知数，三个方程。写成增广矩阵形式：
$$\left[\begin{array}{ccccc}1& 3& 0& 2& 1\\ 0& 0& 1& 4& 6\\ 1& 3& 1& 6& 7\end{array}\right]$$
化简成RREF形式：
$$\left[\begin{array}{ccccc}1& 3& 0& 2& 1\\ 0& 0& 1& 4& 6\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}R& d\end{array}\right]$$
最后一行$R$是全零行，对应的同行的$d$也为0。继续考虑一般情况：
$$\left[\begin{array}{ccccc}1& 3& 0& 2& b_1\\ 0& 0& 1& 4& b_2\\ 1& 3& 1& 6& b_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccc}1& 3& 0& 2& b_1\\ 0& 0& 1& 4& b_2\\ 0& 0& 0& 0& b_3-b_2-b_1\end{array}\right]$$
行向量组合如果是零向量，那么对应的结果向量也必须有相同的变换。$b_3-b_2-b_1=0$时，最后一个等式才成立；从列空间来看，所有向量都无法对$b$的最后一行造成任何影响，所以它必须是0。

二、一个特解

还是以上一段提到的矩阵为例：
$$\left[\begin{array}{ccccc}1& 3& 0& 2& 1\\ 0& 0& 1& 4& 6\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$$
在确保最后一个方程成立后，方程必然有解，因为单位向量能够组成除了零行的任何向量。自由向量依然可以随意选取，最简单的不就是全零，因此我们得到唯一的特解：$x_p=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 6\\ 0\end{array}\right]$，从这个意义上看，特解像是不考虑自由列的，完全由主列决定的唯一解。

主元列是唯一有效输入至结果变量的，其比例是稳定的，再叠加上零空间的解（不会使得已经输出的结果改变）。于是最终方程的解为：
$$x=x_p+x_n=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 6\\ 0\end{array}\right]+x_2\left[\begin{array}{c}-3\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right]+x_4\left[\begin{array}{c}-2\\ 0\\ -4\\ 1\end{array}\right]$$

个人觉得可以这么理解，一个三维空间，主列向量其实就类似于基底，因为所有其他自由向量都可以由他们表示，其他都是基底的线性组合。从图像的角度来看，在四维空间中，他表示一个过$x_p$的三维空间。

系数矩阵$A$的行数是$m$，列数是$n$，对应的秩为$r$，在线性代数中行秩等于列秩等于矩阵的秩。

如果矩阵$A$是列满秩的，那么其零空间为全零向量，全部列向量都为主元列，没有自由向量。

如果矩阵$A$是行满秩的，那么其列空间为$R^m$，他始终有解。

三、矩阵秩与解的关系

对于一个秩为$r$的$m\times n$系数矩阵A：（$r<m$ 且$r<n$）

• $r=m=n$，满秩矩阵。可逆矩阵，$Ax=b$有唯一解；
  eg：
  $$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$
  无论$b$是如何，我总能找到一个系数使你恰好等于$b$

• $r=m<n$，行满秩矩阵。$Ax=b$有无穷多个解；
  eg：$$\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 2\\ 0& 1& 0& 3\\ 0& 0& 1& 5\end{array}\right]$$
  “胖子”矩阵

• $r=n<m$，列满秩矩阵。$Ax=b$唯一解或者无解；
  eg：$$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$$
  "瘦子"矩阵

• $r<n，r<m$，既不是行满秩也不是列满秩。$Ax=b$要么没有解要么无穷多个解：

• eg：$$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$$