埃氏素数筛法模板

本文介绍了一种用于计算特定整数范围内素数对数量的高效算法。该算法首先使用筛法预处理出一个布尔数组来标记素数,然后通过遍历数组找到满足条件的素数对,并统计其总数。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int Kmax=8000005;
bool is_prime[Kmax];
int main()
{
    //begin
   fill(is_prime,is_prime+Kmax,1);//模板
   for(int i=2;i*i<Kmax;i++){
        if(is_prime[i]){
            for(int j=i*i;j<Kmax;j+=i){
                is_prime[j]=0;
            }
        }

   }
   //end
   int n;
   scanf("%d",&n);
   int sum=0;
   if(is_prime[n-2])sum++;
   for(int i=3;i<=n/2;i+=2){
        if(is_prime[i]&&is_prime[n-i]){
            sum++;
        }
   }
   printf("%d\n",sum);
    return 0;
}


<think>我们使用筛法(Sieve of Eratosthenes)来生成素数表。基本思想是: 1. 初始化一个布尔数组,长度为n+1,全部标记为true(索引0和1先标记为false)。 2. 从2开始,将每个素数的各个倍数标记为合数(即非素数)。 3. 当找到一个素数时,将其所有倍数(从该素数的平方开始)标记为false。 注意:我们只需要遍历到sqrt(n)即可,因为大于sqrt(n)的合数必定已经被小于sqrt(n)的素数标记过了。 以下是用C++实现的筛法标准模板:</think>以下是C++实现的筛法(Sieve of Eratosthenes)标准模板,用于高效生成素数表: ```cpp #include <iostream> #include <vector> #include <cmath> using namespace std; vector<bool> sieve_of_eratosthenes(int n) { // 创建布尔数组,初始全部标记为true(0和1除外) vector<bool> is_prime(n+1, true); is_prime[0] = false; is_prime[1] = false; // 只需遍历到sqrt(n) int sqrt_n = sqrt(n); for (int i = 2; i <= sqrt_n; ++i) { if (is_prime[i]) { // 从i的平方开始标记合数(因为更小的倍数已被前序素数标记) for (int j = i * i; j <= n; j += i) { is_prime[j] = false; } } } return is_prime; } int main() { int n = 100; vector<bool> primes = sieve_of_eratosthenes(n); cout << "Primes up to " << n << ":\n"; for (int i = 2; i <= n; ++i) { if (primes[i]) { cout << i << " "; } } return 0; } ``` ### 代码解析: 1. **初始化数组**: - 创建大小为 `n+1` 的布尔向量 `is_prime`,索引对应数字值 - 索引0和1设为`false`(非素数),其余初始化为`true` 2. **核心筛法过程**: - 外层循环从2遍历到$\sqrt{n}$(数学原理:若$n$是合数,必有一个质因子$\le \sqrt{n}$) - 当遇到素数`i`时,内层循环从`i*i`开始标记倍数(`j = i*i, i*(i+1), ...`) 3. **时间复杂度**: - 时间复杂度为 $O(n \log \log n)$,空间复杂度 $O(n)$ - 优化关键:跳过已标记的合数,从`i*i`开始标记 4. **输出结果**: - 遍历`is_prime`数组,值为`true`的索引即为素数 ### 算法优势: - **高效性**:比逐个数判断快 $O(n/\log n)$ 倍 - **预计算**:生成后可重复查询素数 - **内存优化**:可用位运算进一步压缩空间(每比特存储一个数) ### 使用示例: 输入`n=30`时,输出: ``` 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 ```
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