斐波那契数列详解-优快云博客

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本文深入探讨了斐波那契数列的递推公式、通项公式及其性质，包括求解第n项的算法实现，展示了矩阵乘法和模意义下的解法，并讨论了数列的循环节特性。

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斐波那契数列

斐波那契数列

问题 1 求斐波那契数列的第n项

51nod1242 斐波那契数列的第N项

数列的递推公式

$F_0 = 0,F_1 = 1\newline F_n = F_{n-1}+F_{n-2}$

$A=\\ \begin{bmatrix} F(n+1)&F(n)\\ 0&0 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} F(1)&F(0)\\ 0&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&1\\ 1&0 \end{bmatrix}^{n-1}$

struct Matrix{
	int n,m;
	#define maxn 10
	LL a[maxn][maxn];
	Matrix(int n = 2,int m = 2):n(n),m(m){};
};
Matrix m1(2,2),m2(2,2);
Matrix Mutiply(const Matrix &a,const  Matrix &b){
	Matrix c;
	assert(a.m == b.n );
	for(int i = 1;i <= a.n; ++i){
		for(int j = 1;j <= b.m; ++j){
			c.a[i][j] =0;
			for(int k = 1;k <= a.m; ++k){
				c.a[i][j] =(c.a[i][j]+1ll*a.a[i][k]*b.a[k][j]%mod)%mod;// a.a[i][k]*b.a[]
			}
		}
	}
	return c;
}
int main(void)
{
    
    LL n;cin>>n;
    m1.a[1][1] = 1;
    m1.a[1][2] = 0;
    m2.a[1][1] = 1;
    m2.a[1][2] = 1;
    m2.a[2][1] = 1;
    if(n == 0)
    	puts("0");
    else{
    	n--;
    	while(n > 0){
    		if(n&1)
    			m1 = Mutiply(m1,m2);
    		n >>= 1;
    		m2 = Mutiply(m2,m2);
    	}
    	cout<<m1.a[1][1]<<endl;
    }

   return 0;
}

数列的通项公式

在模意义下的 $\sqrt(5)$ 有两个解 $383008016, 616991993$
所以这种方法要求解存在，比较局限

LL sqr5 = 383008016;
int main(void)
{
    LL n;cin>>n;
	LL a = (1+sqr5)*qpow(2,mod-2)%mod;
	LL b = (1-sqr5+mod)%mod*qpow(2,mod-2)%mod;
	cout<<1ll*qpow(sqr5,mod-2)*(qpow(a,n)-qpow(b,n)+mod)%mod;
   return 0;
}

/*
sqrt(5)
383008016
616991993
*/